花壇への給水-一次関数と容量の判断
山口県の高校で、校庭の花壇に水をやるために2つの給水タンクを同時に使う計画を立てている。Aタンクには18 Lの水が入っており、ホースを開くと毎分0.6 Lずつ減っていく。Bタンクには3 Lの水が入っており、別のホースから毎分0.4 Lずつ増えていく。Bタンクの容量は12 Lで、満杯になるとそれ以上は入らず、水量は12 Lのままになる。給水開始からt分後のAタンクの水量を y_A L、Bタンクの水量を y_B L とする。ただし、Aタンクが空になっても給水は続け、Bタンクが満杯になるまでは毎分0.4 Lの割合が続くものとする。園芸委員は「2つのタンクの水量が同じになる時刻を求め、そのときBタンクが満杯でなければ安全だ」と説明している。また、Aタンクが空になるまでにBタンクが満杯になるかどうかを、式を使って確認したい。Aタンクの水は花壇に流れ、Bタンクの水は別の花壇に流れるため、途中で水量が変わることはない。満杯になったBタンクから水があふれる可能性も考える。
1. 給水開始からt分後のAタンク、Bタンクの水量を式で表し、2つの水量が等しくなる時刻とそのときの水量を求めよ。ただし、Bタンクが満杯になる前の式を使うこと。
Read the worked answer
Aタンクは毎分0.6 L減るので、y_A=18−0.6t。 Bタンクは毎分0.4 L増えるので、y_B=3+0.4t（満杯になるまで）。
等しくなるのは 18−0.6t=3+0.4t。 18−3=0.6t+0.4t → 15=t。 よってt=15分。このとき y_A=18−0.6×15=18−9=9 L、y_B=3+0.4×15=9 L。
Bタンクの満杯時刻は後で求めるが、t=15分のときBは9 Lで12 L未満なので、この式を使ってよい。
2. Aタンクが空になるまでにBタンクが満杯になるかどうかを、時刻を求めて判断せよ。
Read the worked answer
Bタンクが満杯になる時刻は、3+0.4t=12 より 0.4t=9、t=22.5分。 Aタンクが空になる時刻は、18−0.6t=0 より 0.6t=18、t=30分。
22.5<30なので、Aタンクが空になる前にBタンクは満杯になる。満杯になる時刻t=22.5分のAタンクの水量は 18−0.6×22.5=18−13.5=4.5 L。したがって、このままではBタンクがあふれる可能性がある。
3. Aタンクが空になるまでBタンクがあふれないようにするには、Bタンクの容量を何L以上にすればよいか。理由をつけて答えよ。
Read the worked answer
Bタンクの容量を大きくすれば、満杯になるまでの式 y_B=3+0.4t が使える。Aタンクが空になるt=30分のとき、Bタンクに入っている水量は 3+0.4×30=3+12=15 L。
したがって、容量が15 L以上であれば、Aタンクが空になるまでは満杯にならない。ちょうど15 Lのときは、Aタンクが空になる瞬間にBタンクが満杯になる。これを「その前には満杯にならない」と許すなら15 L以上、「Aが空になる前も満杯にしない」と厳密に言うなら15 Lより大きくする必要がある。