橋のケーブル-放物線 y=ax^2 と安全余裕
山口県の公園にある橋の主ケーブルが放物線を描いている。橋の中心の真下を原点Oとし、水平方向にx m、高さをy mとすると、ケーブルは y=ax^2+4 (a>0) と表せる。中心から10 m離れた地点ではケーブルの高さが9 mである。橋の塔は中心から左右に20 mの位置にあり、ケーブルは塔の頂上に接続している。車道の高さは0 mで、高さ5.5 mのトラックが橋の下を通る。トラックの安全のためには、ケーブルとトラックの屋根の間に少なくとも0.2 mの余裕が必要である。運転手は「放物線の一番低い中心でさえ通れれば、どこでも通れる」と考えている。橋の下を通過できる範囲を、中心からの水平距離で考えたい。ただし、トラックの幅は考えず、屋根の高さだけを比べる。ケーブルの太さは無視し、塔の位置はx=−20とx=20とする。橋の中心付近はケーブルが低く、塔に近づくほど高くなる。
1. aの値を求め、塔の位置x=20 mにおけるケーブルの高さを求めよ。
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x=10のときy=9なので、9=a×10^2+4。 9=100a+4 → 100a=5 → a=0.05。
塔はx=20なので、y=0.05×20^2+4=0.05×400+4=20+4=24 m。 よってケーブルは塔の位置で高さ24 mにある。
2. x=6 mの地点で、ケーブルとトラックの屋根との余裕を求め、0.2 m以上の余裕があるか判断せよ。
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x=6のとき、y=0.05×6^2+4=0.05×36+4=1.8+4=5.8 m。 トラックの屋根は5.5 mなので、余裕は 5.8−5.5=0.3 m。 0.3≧0.2なので、x=6 mの地点では必要な余裕を満たして通過できる。ただし余裕は0.3 mしかない。
3. トラックが0.2 m以上の余裕をもって通過できるxの範囲を求め、運転手の考え方が正しいか説明せよ。
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必要な条件は y−5.5≧0.2、つまり y≧5.7。 0.05x^2+4≧5.7 → 0.05x^2≧1.7 → x^2≧34。 よって |x|≧√34≒5.83。橋は |x|≦20 の範囲なので、通過できるのは 5.83 m≦|x|≦20 m。
中心付近 |x|<5.83 m では余裕が足りない。放物線は中心で最も低いので、中心で通れるかどうかは最も厳しい条件であり、「中心で通れればどこでも通れる」は誤り。実際、x=6では通れてもx=0ではケーブルが低すぎる。