中点四角形PQRS-証明と周の長さ
山口県の高校の数学部で、四角形ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとし、四角形PQRSについて調べている。もとの四角形ABCDは長方形とは限らず、AC=10 cm、BD=14 cmである。生徒Aは、PQRSの4辺の長さを測らずに、周の長さが24 cmになると予想した。生徒Bは、PQRSはひし形になるので、周の長さは12 cmだと考えた。生徒Cは、ABCDが長方形でなくてもPQRSは平行四辺形になる、と主張した。先生は「PQRSが平行四辺形であることを、三角形ABCと三角形CDAに分けて考えなさい」と助言した。また、生徒Bの証明には、ABCDが長方形であるという仮定が混ざっているという指摘もあった。中点連結定理を使って、長さの関係を整理する。PQRSの辺はもとの四角形の対角線と平行になる。生徒Bは、ACとBDの長さが等しいと思い込んでいる。
1. 三角形ABCと三角形CDAに分けて、四角形PQRSが平行四辺形であることを証明せよ。
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三角形ABCにおいて、PはABの中点、QはBCの中点なので、中点連結定理より PQ∥AC、PQ=AC/2。
三角形CDAにおいて、SはDAの中点、RはCDの中点なので、同様に SR∥AC、SR=AC/2。
したがって、PQ∥SR かつ PQ=SR。四角形PQRSは、1組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので平行四辺形である。
2. AC=10 cm、BD=14 cmのとき、PQRSの周の長さを求め、生徒Aと生徒Bのどちらが正しいか判断せよ。
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PQ=AC/2=10/2=5 cm。 また、三角形BCDで中点連結定理を使うと、QR=BD/2=14/2=7 cm。 PQRSは平行四辺形なので、RS=PQ=5 cm、SP=QR=7 cm。 周の長さは 5+7+5+7=24 cm。
よって生徒Aが正しい。生徒Bの12 cmは、PQ+QR=5+7=12 cmを周の長さと取り違えたもの、または半分だけを足したものになっている。
3. 生徒Bが「PQRSはひし形になる」と断定した誤りを、ACとBDの長さの関係から説明せよ。また、生徒Cの主張は正しいか述べよ。
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一般にPQ=AC/2、QR=BD/2である。PQRSがひし形になるには、少なくともPQ=QR、すなわちAC/2=BD/2、つまりAC=BDが必要。 しかし与えられた条件はAC=10 cm、BD=14 cmで等しくない。したがってPQ=5 cm、QR=7 cmとなり、ひし形ではない。
生徒Cの主張は正しい。証明ではABCDが長方形であることを使っておらず、中点連結定理だけを使っている。長方形なら対角線が等しくなるのでPQRSはひし形になるが、一般の四角形では平行四辺形にとどまる。