文化祭の抽選-当たり確率と期待値
山口県の高校の文化祭で、クラス企画として参加費100円の抽選を200人が行うと予想している。抽選1は、1から6までの目が等確率で出るさいころを2回振り、出た目の和が7なら当たりで、景品の原価は300円である。抽選2は、袋に赤玉3個と白玉2個を入れ、1個取り出して色を記録して袋に戻し、もう1回同じことを行い、2回とも赤なら当たりで、景品の原価は300円である。クラス会計は、参加費の合計から景品代を引いた残りを利益にしたい。生徒Xは「抽選2の方が当たりやすいから、景品代が同じなら抽選2の方がもうかる」と言う。生徒Yは「当たりやすさだけでなく、1人あたりの期待値で比べる必要がある」と反論した。景品は当たり1回につき1個で、はずれには景品を出さない。参加者は全員1回だけ抽選し、200人が必ず参加すると仮定する。抽選2では、取り出した玉を毎回袋に戻すため、1回目と2回目の結果は独立である。生徒Xは当たり確率だけを見て、景品代の総額を計算していない。
1. 抽選1と抽選2の当たり確率をそれぞれ求めよ。
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抽選1：2個のさいころの目の組は36通り。和が7になるのは (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) の6通り。 よって P1=6/36=1/6。
抽選2：1回目に赤が出る確率は3/5。袋に戻すので2回目も3/5。 よって P2=(3/5)×(3/5)=9/25。
9/25=0.36、1/6≒0.167なので、当たりやすさだけなら抽選2の方が高い。
2. 200人が参加するとき、抽選1と抽選2の景品代の総額と利益をそれぞれ求めよ。参加費は1人100円である。
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抽選1：1人あたりの景品代の期待値は 300×1/6=50円。200人では 50×200=10,000円。 参加費の合計は 100×200=20,000円なので、利益は 20,000−10,000=10,000円。
抽選2：1人あたりの景品代の期待値は 300×9/25=300×0.36=108円。200人では 108×200=21,600円。 利益は 20,000−21,600=−1,600円で、1,600円の損失になる。
よって、当たりやすい抽選2の方がもうかるという生徒Xの考えは誤り。景品代が同じでも、当たり確率が高いほど期待される景品代は大きくなる。
3. 抽選2の景品の原価を200円に下げた場合、200人参加で利益が出るか判断せよ。また、抽選2で利益が负にならない景品原価の上限を整数で求めよ。
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景品原価200円のとき、1人あたりの期待景品代は 200×9/25=200×0.36=72円。 200人では 72×200=14,400円。利益は 20,000−14,400=5,600円となり、利益が出る。
一般に景品原価をc円とすると、1人あたりの期待景品代は c×9/25。これが参加費100円以下であればよい。 c×9/25≦100 → c≦100×25/9=2500/9≒277.8。 整数の原価なら277円以下なら利益が负にならない。278円では期待景品代が100円を超え、200人では損失になる。