Quadratic Functions and Proportional/Inverse Relations (関数 y=ax², 比例・反比例)
関数y=ax²と比例・反比例
この領域では、比例y=ax、反比例y=a/x、y=ax²の式決定、変域、変化の割合、グラフの特徴が問われます。特にy=ax²では、aの符号とグラフの開き方、xの変域によるyの変域の決め方が重要です。
規則
- 比例：y=ax（a≠0）、a=y/x。反比例：y=a/x、a=xy。
- y=ax²：a=y/x²。放物線はy軸対称、頂点は原点。a>0なら下に凸、a<0なら上に凸。
- 変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)。y=ax²でxがpからqまで変化するときの変化の割合はa(p+q)。
- 変域：y=ax²でxの変域が0をまたぐと、yの最小値は0。最大値は端点の大きい方。
例題
y=ax²のグラフが点(2,12)を通る。12=a×2²=4aよりa=3。x=-3のときy=3×(-3)²=27。点の座標はxを二乗してからaを掛けるので、(-3)²=9を先に計算します。
グラフと式の対応
グラフからaを読むときは、原点以外の格子点を1つ選び、y座標をx座標の二乗で割ります。反比例のグラフはx軸・y軸に交わらない双曲線で、a>0なら第1・3象限、a<0なら第2・4象限にあります。変域を答えるときは、端点の値だけでなく頂点を含むかどうかを必ず確認します。
失点しやすいところ
y=ax²に点(2,12)を代入するとき12=a×2としてa=6とする、変化の割合をaだけとする、xの変域が負から正にまたぐのに端点だけで最小・最大を判断する、など。比例と反比例の式決定では、a=y/xかa=xyかを取り違えないよう、表の1組で確かめます。