Yuran Tuisyen: Hasil Maksimum atau Keuntungan Maksimum?
Pusat tuisyen Cemerlang mengenakan yuran RM80 sebulan kepada 120 pelajar, dan semua pelajar membayar yuran yang sama tanpa diskaun atau caj tambahan. Kajian pasaran pusat itu mendapati setiap kenaikan RM5 dalam yuran akan menyebabkan 6 pelajar berhenti. Kos bulanan pusat ialah RM4,000 kos tetap ditambah RM20 bagi setiap pelajar yang berdaftar. Pengurus mencadangkan yuran dinaikkan kepada RM100 kerana katanya 'hasil kutipan paling tinggi'. Pemilik pusat mahu keuntungan bulanan dimaksimumkan, bukan hasil. Guru besar pula menetapkan pusat mesti mengekalkan sekurang-kurangnya 100 pelajar supaya dua orang guru sepenuh masa masih diperlukan; pusat tidak boleh menambah kelas kerana kekurangan ruang. Pada mesyuarat lembaga, seorang ahli berhujah bahawa menaikkan yuran setinggi mungkin sehingga pelajar paling sedikit akan memberi keuntungan paling besar, dan beliau mahu angka sebenar sebelum undian dibuat. Semua kiraan perlu menggunakan bilangan kenaikan RM5 sebagai pemboleh ubah.
1. Dengan n ialah bilangan kenaikan RM5, bentukkan ungkapan hasil bulanan dan cari nilai n yang memaksimumkan hasil. Tafsirkan jawapan.
Read the worked answer
Yuran = 80 + 5n; bilangan pelajar = 120 − 6n.
R(n) = (80 + 5n)(120 − 6n) = 9,600 − 480n + 600n − 30n² = 9,600 + 120n − 30n²
Puncak: n = −b ÷ (2a) = −120 ÷ (2 × −30) = 2 R(2) = (90)(108) = RM9,720
Semakan simetri: R(1) = 85 × 114 = RM9,690; R(3) = 95 × 102 = RM9,690 - kedua-duanya lebih rendah, jadi n = 2 memang puncak.
Tafsiran: yuran RM90 dengan 108 pelajar memberi hasil tertinggi RM9,720. Cadangan pengurus (RM100, n = 4) memberi 100 × 96 = RM9,600 - sama dengan hasil asal RM80 × 120, bukan 'paling tinggi'.
2. Cari nilai n yang memaksimumkan keuntungan bulanan dan bandingkan dengan jawapan (a). Terangkan mengapa kedua-duanya berbeza.
Read the worked answer
Kos C(n) = 4,000 + 20(120 − 6n) = 6,400 − 120n
P(n) = R(n) − C(n) = (9,600 + 120n − 30n²) − (6,400 − 120n) = 3,200 + 240n − 30n²
Puncak: n = −240 ÷ (2 × −30) = 4 P(4) = 3,200 + 960 − 480 = RM3,680 (yuran RM100, 96 pelajar)
Semakan: P(3) = 3,650; P(5) = 3,650 - kedua-duanya lebih rendah.
Mengapa berbeza: setiap pelajar yang berhenti menjimatkan kos berubah RM20, jadi keuntungan terus naik melebihi titik hasil maksimum. Memaksimumkan hasil bukan matlamat yang betul apabila kos berubah bergantung pada bilangan pelajar.
Semakan keseluruhan: P(n) > 0 sehingga n ≈ 15 (yuran RM155, 30 pelajar, keuntungan hanya RM50), jadi ahli lembaga yang mahu 'pelajar paling sedikit' memang betul dari segi teori keuntungan, tetapi cadangan itu tidak realistik dan melanggar syarat guru besar.
3. Dengan syarat sekurang-kurangnya 100 pelajar, tentukan pilihan terbaik dan buktikan ia mematuhi syarat.
Read the worked answer
Syarat: 120 − 6n ≥ 100 → 6n ≤ 20 → n ≤ 3.33 → n = 3 (nombor bulat).
- n = 3: yuran RM95, pelajar 102, P(3) = 3,200 + 720 − 270 = RM3,650
- n = 2: yuran RM90, pelajar 108, P(2) = 3,200 + 480 − 120 = RM3,560
- n = 4: P(4) = RM3,680 tetapi pelajar hanya 96 → melanggar syarat
Keputusan: pilih n = 3, iaitu yuran RM95 dengan 102 pelajar dan keuntungan dijangka RM3,650. Ia lebih tinggi RM90 daripada n = 2 dan kekal di atas had 100 pelajar.
Nota taakulan: model ini menganggap setiap kenaikan RM5 menyebabkan tepat 6 pelajar berhenti. Hubungan sebenar tidak sesempurna itu, jadi yuran RM95 wajar diuji selama sebulan sebelum dikukuhkan, dengan pelan sandaran kembali ke RM90 jika penyertaan jatuh melebihi jangkaan.