SPM Mathematics cheat sheet

Hukum indeks: a^m × a^n = a^(m+n); a^m ÷ a^n = a^(m−n); (a^m)^n = a^(mn); (ab)^n = a^n b^n; a^0 = 1 (a ≠ 0); a^(−n) = 1/a^n.

Indeks pecahan: a^(1/n) = ⁿ√a dan a^(m/n) = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m), dengan a > 0 apabila n genap.

Bentuk piawai: N = A × 10^n dengan 1 ≤ A < 10 dan n integer; bagi N ≥ 10, n positif; bagi 0 < N < 1, n negatif.

Operasi bentuk piawai: (A×10^m) × (B×10^n) = (AB)×10^(m+n); bahagi: (A/B)×10^(m−n); laraskan semula jika AB ≥ 10 atau AB < 1.

Angka bererti: digit bukan sifar bererti; sifar antara digit bererti adalah bererti; sifar pendahulu tidak bererti; sifar di hujung perpuluhan bererti; sifar di hujung integer dianggap bererti hanya jika dinyatakan.

Penukaran asas: asas b ke asas 10 melalui kembangan nilai tempat; asas 10 ke asas b melalui pembahagian berulang dengan b, dan baki dibaca dari bawah ke atas.

Asas 2 dan asas 8: kumpulkan 3 bit dari kanan untuk asas 8; untuk asas 16 kumpulkan 4 bit dari kanan, kemudian tukar setiap kumpulan kepada digit yang sepadan.

Surd: √a × √b = √(ab); √a ÷ √b = √(a/b); k√a ± m√a = (k ± m)√a; merasionalkan penyebut: 1/√a = √a/a dan 1/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b).

Peratusan: perubahan peratus = (nilai baharu − nilai asal)/nilai asal × 100%; untung = harga jual − harga kos; peratus untung = untung/harga kos × 100%.

Bulatan: lilitan = 2πr; luas = πr²; panjang lengkok = (θ/360) × 2πr; luas sektor = (θ/360) × πr², dengan θ dalam darjah.

Isi padu: prisma atau silinder = luas keratan rentas × tinggi; piramid = (1/3) × luas tapak × tinggi; kon = (1/3)πr²t; sfera = (4/3)πr³.

Luas permukaan: silinder = 2πr² + 2πrt; kon = πr² + πrs dengan s ialah tinggi sendeng; sfera = 4πr²; kubus = 6s².

Teorem Pythagoras: dalam segi tiga bersudut tegak, c² = a² + b²; songsangannya: jika c² = a² + b², sudut bertentangan sisi c ialah 90°.

Nisbah trigonometri: sin θ = sisi bertentangan/hipotenus; kos θ = sisi bersebelahan/hipotenus; tan θ = sisi bertentangan/sisi bersebelahan.

Petua sinus: a/sin A = b/sin B = c/sin C; petua kosinus: a² = b² + c² − 2bc kos A; luas segi tiga = ½ab sin C.

Sudut: hasil tambah sudut pedalaman poligon = (n − 2) × 180°; sudut peluaran poligon sekata = 360°/n; sudut sepadan dan sudut selang-seli adalah sama bagi garis selari.

Bearing: diukur mengikut arah jam dari utara dan ditulis dalam tiga digit, contohnya 045°; bearing belakang = bearing + 180° jika bearing < 180°, atau bearing − 180° jika bearing ≥ 180°.

Kesebangunan: jika faktor skala panjang ialah k, nisbah luas = k² dan nisbah isi padu = k³; penukaran unit: 1 m² = 10^4 cm², 1 m³ = 10^6 cm³, 1 liter = 1000 cm³.

Formula kuadratik: bagi ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a).

Diskriminan D = b² − 4ac: D > 0 memberi dua punca nyata berbeza; D = 0 memberi dua punca nyata sama; D < 0 bermakna tiada punca nyata.

Hasil tambah punca α + β = −b/a; hasil darab punca αβ = c/a; persamaan kuadratik dengan punca α dan β ialah x² − (α+β)x + αβ = 0.

Penyempurnaan kuasa dua: ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + c − b²/4a; titik minimum atau maksimum berlaku pada x = −b/2a.

Persamaan linear serentak: selesaikan melalui penghapusan atau penggantian; bagi satu persamaan linear dan satu kuadratik, ungkapkan satu pemboleh ubah daripada persamaan linear dan gantikan.

Ketaksamaan linear: pendaraban atau pembahagian dengan nombor negatif membalikkan arah ketaksamaan; penyelesaian boleh diwakili pada garis nombor.

Matriks: hasil darab (m×n)(n×p) ialah matriks m×p; bagi A = [[a,b],[c,d]], det A = ad − bc dan A⁻¹ = (1/det A)[[d,−b],[−c,a]] jika det A ≠ 0.

Ubahan: ubahan langsung y = kx; ubahan songsang y = k/x; ubahan bergabung y = kx/z; k ialah pemalar yang ditentukan daripada nilai yang diberi.

Fungsi: fg(x) = f(g(x)) bermakna g dikenakan dahulu; fungsi songsang f⁻¹ memenuhi f(f⁻¹(x)) = x; graf y = f(x) dan y = f⁻¹(x) bersimetri pada garis y = x.

Min: data tak terkumpul x̄ = Σx/n; jadual kekerapan x̄ = Σfx/Σf; data terkumpul menggunakan titik tengah kelas sebagai x.

Median: susun data; bagi n ganjil median ialah cerapan ke-(n+1)/2; bagi n genap median ialah purata cerapan ke-n/2 dan ke-(n/2 + 1).

Kuartil: Q1 pada kedudukan n/4, Q2 pada n/2 dan Q3 pada 3n/4 dalam data tersusun; julat antara kuartil = Q3 − Q1.

Varians: σ² = Σ(x − x̄)²/n atau σ² = Σfx²/Σf − x̄²; sisihan piawai σ = √varians.

Kesan perubahan data: menambah pemalar c pada setiap nilai menambah min dengan c tetapi tidak mengubah sisihan piawai; mendarab setiap nilai dengan k mendarab min dan sisihan piawai dengan k.

Kebarangkalian: P(A) = n(A)/n(S), dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(A′) = 1 − P(A).

Peristiwa saling eksklusif: P(A ∪ B) = P(A) + P(B); peristiwa tidak saling eksklusif: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A) × P(B); peristiwa ini boleh berlaku serentak, jadi P(A ∩ B) ≠ 0.

Ogive: paksi-y ialah kekerapan longgokan; median dibaca pada 50% jumlah kekerapan, Q1 pada 25% dan Q3 pada 75%; histogram sesuai untuk kelas dengan lebar sama.