Gerai Karnival: Jangkaan Bayaran Hadiah dan Sasaran Keuntungan
Kelab Kebajikan SMK Taman Harmoni akan membuka gerai permainan semasa karnival sekolah. Dua cadangan dibentangkan. Permainan A: pemain membayar RM3 dan melontar dua dadu adil; jika jumlah mata 7, pemain menang RM10, jika jumlah mata 8, pemain menang RM4, selain itu tiada hadiah. Permainan B: pemain membayar RM2 dan mencabut satu guli daripada beg yang mengandungi 5 guli merah, 3 guli biru dan 2 guli kuning; guli merah menang RM3, guli biru menang RM1, guli kuning tiada hadiah. Setiap permainan dianggap bebas dan guli dikembalikan selepas setiap cabutan. Penganjur menyasarkan keuntungan bersih sekurang-kurangnya RM500 daripada kira-kira 600 permainan, dan bekalan hadiah perlu dibeli lebih awal. Seorang ahli jawatankuasa mencadangkan Permainan A kerana hadiahnya lebih besar; seorang lagi bimbang hadiah besar akan menghabiskan modal. Kelab hanya mampu membeli bekalan hadiah untuk satu permainan, dan persatuan ibu bapa bimbang jika sasaran tidak dicapai, kelab terpaksa menampung kekurangan daripada tabung kebajikan.
1. Hitung jangkaan bayaran hadiah dan jangkaan keuntungan bersih penganjur bagi setiap permainan.
Read the worked answer
Permainan A - ruang sampel dua dadu = 36
- P(jumlah 7) = 6/36; P(jumlah 8) = 5/36
- E(bayaran) = 10(6/36) + 4(5/36) = 60/36 + 20/36 = 80/36 = RM2.22
- Keuntungan bersih = 3 − 2.22 = RM0.78 setiap permainan
Permainan B - jumlah guli = 10
- E(bayaran) = 3(5/10) + 1(3/10) + 0(2/10) = 1.50 + 0.30 = RM1.80
- Keuntungan bersih = 2 − 1.80 = RM0.20 setiap permainan
Tafsiran: setiap kali seseorang bermain A, kelab menjangka untung kira-kira 78 sen; bagi B hanya 20 sen. Kelebihan A datang daripada bayaran masuk yang lebih tinggi berbanding jangkaan hadiah, bukan daripada saiz hadiahnya.
2. Adakah sasaran RM500 daripada 600 permainan tercapai oleh mana-mana permainan? Bandingkan risiko kedua-duanya.
Read the worked answer
- A: 600 × 0.7778 = RM466.67
- B: 600 × 0.20 = RM120.00
Kedua-duanya tidak mencapai RM500. A lebih hampir (kurang RM33.33) dan memberi pulangan setiap permainan hampir empat kali ganda B.
Risiko: hadiah RM10 dalam A memang besar, tetapi kebarangkaliannya 1 dalam 6 dan kemenangan RM4 pula 5 dalam 36. Dengan 600 permainan, jumlah bayaran tertumpu rapat pada jangkaan: sisihan piawai bayaran setiap permainan ≈ RM3.74, jadi sisihan piawai jumlah bayaran bagi 600 permainan hanya ≈ 3.74 × √600 ≈ RM92. Kekurangan RM33 daripada sasaran adalah dalam lingkungan satu sisihan piawai - jadi kebarangkalian mencapai RM500 lebih kurang 30–40%, bukan mustahil tetapi tidak boleh diharap.
Kesimpulan: A pilihan yang lebih baik, tetapi ia perlu diubah suai sebelum sasaran boleh dianggap munasabah.
3. Cadangkan satu pengubahsuaian minimum pada Permainan A supaya sasaran RM500 tercapai, dan sahkan dengan kiraan.
Read the worked answer
Cadangan: kekalkan bayaran RM3, tetapi tukar hadiah kepada RM8 (jumlah 7) dan RM3 (jumlah 8).
- E(bayaran) = 8(6/36) + 3(5/36) = 48/36 + 15/36 = 63/36 = RM1.75
- Keuntungan bersih = 3 − 1.75 = RM1.25
- 600 × 1.25 = RM750 ≥ RM500 ✓ (margin RM250)
Pilihan lain yang boleh diterima:
- Buang hadiah RM4: E = 10(6/36) = RM1.67 → untung RM1.33 → RM800 ✓, tetapi hanya satu jumlah yang menang, jadi tarikan menurun.
- Naikkan bayaran kepada RM4: untung RM1.78 → RM1,066.67 ✓, tetapi bayaran masuk yang lebih tinggi mungkin mengurangkan bilangan pemain - dan sasaran 600 permainan itu sendiri bergantung pada penyertaan.
Justifikasi pilihan: mengekalkan dua kategori kemenangan memelihara tarikan permainan sambil memberi margin keselamatan, dan nilai hadiah maksimum RM8 masih dalam kemampuan tabung berbanding RM10 asal.