Choix de fournisseur d'arbres usinés : tolérance, coût espéré et risque de lot
Une usine d'assemblage consomme 20 000 arbres usinés par an. La spécification impose un diamètre de 25,00 ± 0,04 mm. Le fournisseur A livre des arbres dont le diamètre suit une loi normale N(25,00 ; 0,020) mm, au prix de 2,40 € l'unité. Le fournisseur B, plus cher à 3,10 €, annonce un écart-type deux fois plus faible, mais un réglage décentré sur N(25,03 ; 0,010) mm. Tout arbre hors tolérance est repris à l'atelier pour 7,50 € et redevient conforme. Le service qualité prélève 50 arbres par lot : au-delà de 3 pièces hors tolérance, le lot est refusé, avec 250 € de frais administratifs et un risque de rupture de ligne. La production est tendue et le directeur industriel veut une recommandation chiffrée, pas une impression. Il demande aussi à partir de quel coût de reprise l'arbitrage changerait, sachant qu'une externalisation du retoucheur est envisagée.
1. Modéliser la probabilité qu'un arbre soit hors tolérance pour chaque fournisseur. Commenter l'origine du défaut chez B.
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Limites de tolérance : 24,96 mm et 25,04 mm.
Pour A : z_inf = (24,96 − 25,00)/0,020 = −2 et z_sup = (25,04 − 25,00)/0,020 = +2. Donc p_A = 2[1 − Φ(2)] = 2 × 0,0228 = 0,0455, soit 4,55 %.
Pour B : z_inf = (24,96 − 25,03)/0,010 = −7, négligeable ; z_sup = (25,04 − 25,03)/0,010 = +1. Donc p_B = 1 − Φ(1) = 0,1587, soit 15,87 %.
Le défaut de B n'est pas un manque de précision : son écart-type est plus faible. Le problème est le décentrage de 0,03 mm, qui place la moyenne à un écart-type de la limite haute. Un fournisseur précis mais mal centré peut donc être moins conforme qu'un fournisseur plus dispersé mais centré.
2. Calculer le coût espéré par arbre conforme pour A et B, puis déterminer le coût de reprise c à partir duquel B recentré à 25,00 mm deviendrait plus économique que A.
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Coût espéré par arbre, en supposant que la reprise rend la pièce conforme :
A : 2,40 + 0,0455 × 7,50 = 2,40 + 0,341 = 2,74 €. B au réglage actuel : 3,10 + 0,1587 × 7,50 = 3,10 + 1,190 = 4,29 €.
A est donc nettement plus économique malgré un écart-type plus grand, parce qu'il est centré.
Si B recentre son réglage à 25,00 mm sans changer son écart-type, p_B = 2[1 − Φ(4)] ≈ 6,3 × 10⁻⁵. L'égalité des coûts s'écrit : 2,40 + 0,0455c = 3,10 + 0,000063c, soit 0,04544c = 0,70, donc c ≈ 15,4 €. À 7,50 €, A reste devant ; au-delà d'environ 15,4 €, B recentré devient préférable. Ce seuil dépend fortement de l'hypothèse de reprise à 100 % efficace.
3. Le critère de refus de lot au-delà de 3 pièces non conformes sur 50 est-il discriminant ? Calculer la probabilité de refus pour chaque fournisseur et discuter.
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On modélise le nombre de pièces hors tolérance par une loi binomiale, approchée par une loi de Poisson car n = 50 et p petit.
Pour A : λ_A = 50 × 0,0455 = 2,28. P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − e^−2,28(1 + 2,28 + 2,28²/2 + 2,28³/6) ≈ 1 − 0,805 = 0,195. Environ 19,5 % des lots seraient refusés.
Pour B : λ_B = 50 × 0,1587 = 7,94. P(X > 3) ≈ 1 − 0,044 = 0,956. Plus de 95 % des lots seraient refusés, ce qui est incompatible avec un approvisionnement régulier.
Le critère est donc très discriminant, mais il mélange deux effets : la qualité intrinsèque et le risque de rupture. Un lot refusé n'est pas nécessairement inutilisable ; il déclenche un tri. La décision finale doit intégrer le coût du tri, la capacité de reprise et le délai, pas seulement le prix unitaire.