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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La limite lim_{x→0} (1 − cos x)/x² vaut :

  1. 0
  2. 1/2 Correct answer.
  3. 1
  4. +∞

Explanation

Le développement limité de cos x en 0 s'écrit cos x = 1 − x²/2 + o(x²). En reportant, on obtient 1 − cos x = x²/2 + o(x²), donc le quotient (1 − cos x)/x² vaut 1/2 + o(1). La limite cherchée est donc 1/2. On retrouve le même résultat en multipliant numérateur et dénominateur par (1 + cos x) et en utilisant sin x/x → 1.

Question 2Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit la matrice A = [[1, 2], [3, 4]]. Le déterminant de A² vaut :

  1. -4
  2. 16
  3. 2
  4. 4 Correct answer.

Explanation

Le déterminant est multiplicatif : det(A²) = (det A)². Ici det A = 1×4 − 2×3 = −2, donc det(A²) = (−2)² = 4. Le résultat est positif bien que det A soit négatif, car l'élévation au carré supprime le signe.

Question 3Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On lance deux fois un dé équilibré à six faces. La probabilité que la somme des deux résultats soit égale à 7 est :

  1. 5/36
  2. 1/6 Correct answer.
  3. 1/9
  4. 1/12

Explanation

L'univers comporte 6 × 6 = 36 issues équiprobables. Les couples favorables sont (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), soit six issues. La probabilité vaut donc 6/36 = 1/6. On peut aussi raisonner par conditionnement : quel que soit le premier résultat, un seul résultat du second dé donne la somme 7.

Question 4Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La valeur de l'intégrale ∫₀¹ x e^x dx est :

  1. e/2
  2. e
  3. 1 Correct answer.
  4. e − 1

Explanation

On intègre par parties avec u = x et dv = e^x dx, d'où du = dx et v = e^x. Alors ∫₀¹ x e^x dx = [x e^x]₀¹ − ∫₀¹ e^x dx = e − (e − 1) = 1. Le résultat est exactement 1 : les termes en e se compensent.

Question 5Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La série de terme général u_n = 1/(n(n+1)), pour n ≥ 1 :

  1. converge et sa somme vaut 1 Correct answer.
  2. converge et sa somme vaut 1/2
  3. diverge, car son terme général ne tend pas vers 0
  4. converge et sa somme vaut 2

Explanation

On décompose 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). La somme partielle se télescope : Σ_{n=1}^{N} u_n = 1 − 1/(N+1), qui tend vers 1 quand N tend vers +∞. La série converge donc et sa somme vaut 1. On peut aussi remarquer que u_n est équivalent à 1/n², ce qui confirme la convergence.

Question 6Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Les valeurs propres de la matrice A = [[2, 1], [1, 2]] sont :

  1. 2 et 2
  2. 0 et 4
  3. -1 et 3
  4. 1 et 3 Correct answer.

Explanation

Le polynôme caractéristique vaut det(A − λI) = (2 − λ)² − 1, soit (1 − λ)(3 − λ). Ses racines, donc les valeurs propres, sont 1 et 3. On vérifie avec la trace (2 + 2 = 4 = 1 + 3) et le déterminant (4 − 1 = 3 = 1 × 3).

Question 7Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Une urne U₁ contient 2 boules blanches et 3 noires ; une urne U₂ contient 4 boules blanches et 1 noire. On choisit une urne au hasard, puis on y tire une boule au hasard : elle est blanche. La probabilité qu'elle provienne de U₁ est :

  1. 1/2
  2. 2/3
  3. 2/5
  4. 1/3 Correct answer.

Explanation

Notons B l'événement « la boule tirée est blanche ». On a P(B|U₁) = 2/5 et P(B|U₂) = 4/5, avec P(U₁) = P(U₂) = 1/2. La formule de Bayes donne P(U₁|B) = (1/2 × 2/5) / (1/2 × 2/5 + 1/2 × 4/5) = (2/5)/(6/5) = 1/3. L'urne la plus riche en blanches est donc la plus probable a posteriori.

Question 8Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La solution de l'équation différentielle y' + 2y = 0 vérifiant y(0) = 3 est la fonction :

  1. y(x) = 3e^{-x}
  2. y(x) = e^{-2x} + 2
  3. y(x) = 3e^{2x}
  4. y(x) = 3e^{-2x} Correct answer.

Explanation

L'équation y' + 2y = 0 est linéaire homogène du premier ordre à coefficient constant 2 : ses solutions sont y(x) = C e^{−2x}. La condition initiale y(0) = 3 impose C = 3, d'où y(x) = 3e^{−2x}. On vérifie : y' = −6e^{−2x} = −2y, l'équation est bien satisfaite.

Question 9Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A ∈ M₃(ℝ) de polynôme caractéristique χ_A(X) = −(X − 1)²(X + 2). Quelle affirmation est exacte ?

  1. A est toujours diagonalisable, car son polynôme caractéristique est scindé sur ℝ
  2. A est diagonalisable si et seulement si dim ker(A − I₃) = 2 Correct answer.
  3. A est diagonalisable si et seulement si A est inversible
  4. A n'est pas diagonalisable, car 1 est valeur propre double

Explanation

Le polynôme caractéristique est scindé, de valeurs propres 1 (double) et −2 (simple). Une matrice est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre est égale à sa multiplicité algébrique. Ici le seul point à contrôler est la valeur propre double 1 : il faut dim ker(A − I₃) = 2. Pour la valeur propre simple −2, l'égalité est automatique.

Question 10Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La limite, quand x tend vers +∞, de F(x) = ∫₀^x e^{−t²} dt est :

  1. √π
  2. √π/2 Correct answer.
  3. 1
  4. +∞

Explanation

L'intégrale ∫₀^{+∞} e^{−t²} dt est la moitié de l'intégrale de Gauss, donc vaut √π/2. La fonction t ↦ e^{−t²} est continue et positive sur [0, +∞) et majorée par e^{−t} pour t ≥ 1, ce qui assure l'intégrabilité. La fonction F, croissante et majorée, admet donc une limite finie en +∞, égale à √π/2 et non +∞.

Question 11Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La suite définie pour n ≥ 1 par u_n = (3n² + 2n)/(n² + 1) est :

  1. convergente de limite 2
  2. divergente vers +∞
  3. bornée mais sans limite
  4. convergente de limite 3 Correct answer.

Explanation

On divise le numérateur et le dénominateur par n². Le numérateur tend alors vers 3 et le dénominateur vers 1, donc la suite converge vers 3. Le terme en 2n est négligeable devant 3n² lorsque n devient grand.

Question 12Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans ℝ³, le système {x + y + z = 0 ; x − y = 0 ; y − z = 0} admet :

  1. une infinité de solutions
  2. aucune solution
  3. une unique solution, (0,0,0) Correct answer.
  4. exactement deux solutions

Explanation

Les deux dernières équations donnent x = y et y = z, donc x = y = z. En reportant dans x + y + z = 0, on obtient 3x = 0, soit x = 0. Le triplet nul est donc la seule solution.

Question 13Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [2, 6]. Sa densité de probabilité vaut :

  1. 1/6 sur [2,6] et 0 ailleurs
  2. 1/8 sur [2,6] et 0 ailleurs
  3. 1/4 sur [2,6] et 0 ailleurs Correct answer.
  4. 1/2 sur [2,6] et 0 ailleurs

Explanation

Pour une loi uniforme sur un intervalle [a,b], la densité est constante égale à 1/(b − a) sur cet intervalle et nulle ailleurs. Ici b − a = 6 − 2 = 4, donc la densité vaut 1/4 sur [2,6].

Question 14Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La primitive sur ]0, +∞[ de la fonction g(x) = 1/x qui s'annule en x = 1 est :

  1. x ↦ ln x + 1
  2. x ↦ ln x Correct answer.
  3. x ↦ e^x − e
  4. x ↦ 1/x²

Explanation

Une primitive de 1/x sur ]0, +∞[ est ln x. Comme ln 1 = 0, la fonction x ↦ ln x est bien celle qui s'annule en x = 1. Les autres fonctions proposées n'ont pas toutes la bonne dérivée ou ne s'annulent pas en 1.

Question 15Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La matrice A = [[1, 2], [3, 4]] est inversible et son inverse est :

  1. [[4, -2], [-3, 1]]
  2. [[-2, 1], [3, -1]]
  3. [[-2, 1], [3/2, -1/2]] Correct answer.
  4. [[1/2, -1], [-3/2, 2]]

Explanation

Le déterminant de A vaut 1×4 − 2×3 = −2, qui est non nul. La formule de l'inverse donne (1/dét A) [[d, −b], [−c, a]], soit ici (−1/2)[[4, −2], [−3, 1]]. On obtient bien [[-2, 1], [3/2, -1/2]].

Question 16Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La série de terme général u_n = 1/n², pour n ≥ 1 :

  1. converge mais sa somme n'a pas d'expression connue
  2. converge et sa somme vaut 1
  3. converge et sa somme vaut π²/6 Correct answer.
  4. diverge vers +∞

Explanation

C'est une série de Riemann d'exposant 2, donc elle converge car 2 > 1. Le résultat classique de Bâle donne de plus ∑_{n=1}^{+∞} 1/n² = π²/6. La convergence seule ne suffit pas à donner la valeur de la somme.

Question 17Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

L'équation différentielle y'' + 4y = 0 admet pour solutions générales :

  1. y(x)=A e^{2x}+B e^{-2x}
  2. y(x)=A e^{4x}+B e^{-4x}
  3. y(x)=A cos(2x)+B sin(2x) Correct answer.
  4. y(x)=A cos(4x)+B sin(4x)

Explanation

L'équation caractéristique associée est r² + 4 = 0, dont les racines sont r = ±2i. Les solutions réelles sont donc de la forme A cos(2x) + B sin(2x), avec A et B réels.

Question 18Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Sachant que P(X > 2) = 1/4, la valeur de λ est :

  1. λ = ln 2 Correct answer.
  2. λ = 1/2
  3. λ = 2 ln 2
  4. λ = ln 4

Explanation

Pour une loi exponentielle, P(X > t) = e^{−λt}. Ici e^{−2λ} = 1/4, donc −2λ = −ln 4, ce qui donne λ = (ln 4)/2. Comme ln 4 = 2 ln 2, on obtient λ = ln 2.

Question 19Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A une matrice carrée nilpotente non nulle. Quelle affirmation est exacte ?

  1. 0 est valeur propre de A Correct answer.
  2. A² = A
  3. A est inversible
  4. A est diagonalisable sur ℝ

Explanation

Si A est nilpotente, il existe un entier k ≥ 1 tel que A^k = 0. Alors det(A)^k = 0, donc det(A) = 0 et A n'est pas inversible. De plus, toute valeur propre λ de A vérifie λ^k = 0, donc λ = 0 ; la valeur 0 est bien valeur propre.

Question 20Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le nombre de permutations de 5 éléments sans point fixe, c'est-à-dire le nombre de dérangements de 5 éléments, est :

  1. 44 Correct answer.
  2. 24
  3. 76
  4. 120

Explanation

Le nombre de dérangements de n éléments est !n = n! ∑_{k=0}^{n} (−1)^k/k!. Pour n = 5, on obtient 120(1 − 1 + 1/2 − 1/6 + 1/24 − 1/120) = 44. Il y a donc 44 permutations de 5 éléments sans point fixe.

Question 21Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La limite lim_{x→0} (e^x − 1 − x)/x² vaut :

  1. 1
  2. 0
  3. +∞
  4. 1/2 Correct answer.

Explanation

Le développement limité de e^x à l'ordre 2 s'écrit e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²). En reportant dans le quotient, on obtient (x²/2 + o(x²))/x², dont la limite est 1/2.

Question 22Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le déterminant de la matrice triangulaire supérieure A = [[2,0,0],[1,3,0],[4,5,4]] vaut :

  1. 12
  2. 24 Correct answer.
  3. 48
  4. 0

Explanation

Pour une matrice triangulaire, le déterminant est le produit des coefficients diagonaux. Ici, det(A) = 2 × 3 × 4 = 24.

Question 23Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La série de terme général u_n = n/(n² + 1), pour n ≥ 1 :

  1. converge par comparaison avec la série de terme 1/n²
  2. est alternée donc converge
  3. converge car u_n → 0
  4. diverge car u_n ∼ 1/n Correct answer.

Explanation

Pour n ≥ 1, u_n = n/(n²+1) est positif et équivalent à 1/n. La série harmonique ∑1/n diverge, donc par comparaison la série proposée diverge.

Question 24Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La valeur de l'intégrale ∫₀^π sin²(x) dx est :

  1. 0
  2. π
  3. π/2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

On utilise l'identité sin²x = (1−cos2x)/2. Alors ∫₀^π sin²x dx = [x/2 − sin2x/4]₀^π = π/2.

Question 25Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans ℝ³, le sous-espace vectoriel des solutions du système {x + y + z = 0 ; x − y + z = 0} est de dimension :

  1. 3
  2. 2
  3. 0
  4. 1 Correct answer.

Explanation

Les deux équations sont indépendantes et définissent deux plans de ℝ³. Leur intersection est une droite vectorielle, donc la dimension du sous-espace solution vaut 3 − 2 = 1.

Question 26Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. La probabilité P(X ≤ 1,96) est environ :

  1. 0,95
  2. 0,68
  3. 0,99
  4. 0,975 Correct answer.

Explanation

Pour une loi normale centrée réduite, le quantile d'ordre 0,975 vaut environ 1,96. Ainsi P(X ≤ 1,96) ≈ 0,975.

Question 27Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A = [[1,1],[0,1]]. Le coefficient situé à la première ligne et deuxième colonne de A³ vaut :

  1. 1
  2. 2
  3. 3 Correct answer.
  4. 0

Explanation

La matrice A se décompose en I₂ + N avec N = [[0,1],[0,0]] et N²=0. On en déduit A³ = I₂ + 3N, donc le coefficient (1,2) vaut 3.

Question 28Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le rayon de convergence de la série entière ∑_{n≥1} (n!/n^n) x^n est :

  1. +∞
  2. e Correct answer.
  3. 1/e
  4. 1

Explanation

On applique le critère du quotient à a_n = n!/n^n. Le rapport |a_{n+1}/a_n| vaut (n/(n+1))^n et tend vers 1/e, donc le rayon de convergence est e.

Question 29Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit A = [[2,1],[0,2]]. Son polynôme minimal est :

  1. X² − 4
  2. (X − 2)² Correct answer.
  3. X − 2
  4. X² + 4

Explanation

La matrice A − 2I₂ est non nulle et de carré nul. Le polynôme minimal est donc (X−2)², tandis que le polynôme caractéristique vaut aussi (X−2)².

Question 30Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La somme de la série ∑_{n=0}^{+∞} (1/4)^n vaut :

  1. Elle diverge.
  2. 4/3 Correct answer.
  3. 1/3
  4. 1/4

Explanation

La série est géométrique de raison 1/4. Comme |1/4| < 1, elle converge et sa somme vaut 1/(1 − 1/4) = 4/3.

Question 31Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(20 ; 0,25). Son espérance E(X) vaut :

  1. 5 Correct answer.
  2. 0,25
  3. 25
  4. 20

Explanation

Pour une loi binomiale B(n ; p), l'espérance est E(X) = n p. Ici n = 20 et p = 0,25, donc E(X) = 20 × 0,25 = 5.

Question 32Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Dans ℝ², on considère les vecteurs u = (1, 2) et v = (2, 4). Le rang de la famille {u, v} est :

  1. 2
  2. 1 Correct answer.
  3. 0
  4. 4

Explanation

Le vecteur v = (2, 4) est égal à 2u, donc la famille {u, v} est liée. Le rang, c'est-à-dire la dimension de l'espace engendré, vaut donc 1.

Question 33Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La valeur de l'intégrale ∫₀¹ ln(x) dx est :

  1. −e
  2. 0
  3. 1
  4. −1 Correct answer.

Explanation

Une primitive de ln(x) sur ]0, 1] est x ln(x) − x. En évaluant entre 0 et 1 et en utilisant lim_{x→0+} x ln(x) = 0, on obtient (1·0 − 1) − 0 = −1.

Question 34Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La solution de l'équation différentielle y' + 2y = 0 vérifiant y(0) = 3 est :

  1. y(x) = 3 e^{2x}
  2. y(x) = e^{−2x} + 3
  3. y(x) = 3 e^{−2x} Correct answer.
  4. y(x) = 3 cos(2x)

Explanation

L'équation y' + 2y = 0 est linéaire homogène du premier ordre. Ses solutions sont y(x) = C e^{−2x}. La condition y(0) = 3 impose C = 3, d'où y(x) = 3 e^{−2x}.

Question 35Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Les valeurs propres de la matrice A = [[0, 1], [1, 0]] sont :

  1. 1 et −1 Correct answer.
  2. 1 et 1
  3. 0 et 1
  4. i et −i

Explanation

Le polynôme caractéristique est det(A − λI) = (−λ)(−λ) − 1 = λ² − 1. Ses racines sont λ = 1 et λ = −1, qui sont les valeurs propres de A.

Question 36Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0, 4]. Sa variance V(X) vaut :

  1. 2
  2. 4
  3. 16
  4. 4/3 Correct answer.

Explanation

Pour une loi uniforme sur [a, b], la variance vaut (b − a)²/12. Ici a = 0 et b = 4, donc V(X) = 16/12 = 4/3.

Question 37Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le rayon de convergence de la série entière ∑_{n≥1} (1 + 1/n)^{n²} x^n est :

  1. e
  2. 1/e Correct answer.
  3. 1
  4. 0

Explanation

On applique le critère de la racine : la racine n-ième du coefficient a_n = (1 + 1/n)^{n²} vaut (1 + 1/n)^n, qui tend vers e. Le rayon de convergence est donc l'inverse, soit 1/e.

Question 38Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On tire simultanément 3 cartes d'un jeu de 32 cartes. La probabilité d'obtenir exactement un roi est :

  1. C(4,1)C(28,2)/C(32,3) Correct answer.
  2. C(4,1)C(28,2)/C(32,2)
  3. C(4,1)/C(32,3)
  4. C(28,3)/C(32,3)

Explanation

Il faut choisir 1 roi parmi 4 et 2 cartes parmi les 28 non-rois, puis diviser par le nombre total de tirages de 3 cartes parmi 32. La probabilité cherchée est donc C(4,1)C(28,2)/C(32,3).

Question 39Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Sur l'intervalle [0, 1], la suite de fonctions f_n(x) = x^n :

  1. converge uniformément vers la fonction constante égale à 1
  2. converge simplement vers une fonction discontinue, sans convergence uniforme Correct answer.
  3. converge uniformément vers la fonction nulle
  4. ne converge simplement en aucun point de [0, 1]

Explanation

Pour 0 ≤ x < 1, x^n tend vers 0, tandis qu'en x = 1 on a f_n(1) = 1 pour tout n. La limite simple est donc discontinue. De plus, sup_{x∈[0,1]} |f_n(x) − f(x)| = 1, ce qui empêche la convergence uniforme.

Question 40Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Le module du nombre complexe z = (1+i)/(1−i) est :

  1. 1 Correct answer.
  2. 2
  3. 0
  4. √2

Explanation

On simplifie le quotient en multipliant par le conjugué : z = (1+i)²/2 = i. Le module de i vaut donc 1.

Question 41Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La limite, quand n tend vers +∞, de la suite (1 + 2/n)^n vaut :

  1. +∞
  2. e² Correct answer.
  3. e
  4. 2e

Explanation

On écrit (1+2/n)^n = exp(n ln(1+2/n)), et n ln(1+2/n) tend vers 2. La limite cherchée est donc exp(2), c'est-à-dire e².

Question 42Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ = 2. La probabilité P(X > 1) vaut :

  1. 1/2
  2. 1 − e⁻²
  3. e⁻¹
  4. e⁻² Correct answer.

Explanation

Pour une loi exponentielle de paramètre λ, on a P(X > t) = e^(−λt). Ici λ = 2 et t = 1, donc P(X > 1) = e⁻².

Question 43Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

On considère la matrice A = [[1,2,0],[0,1,3],[0,0,2]]. La dimension du sous-espace propre de A associé à la valeur propre 1 est :

  1. 0
  2. 2
  3. 3
  4. 1 Correct answer.

Explanation

On résout (A − I)v = 0, ce qui donne 2y = 0, 3z = 0 et z = 0. Ainsi y = z = 0, tandis que x est libre : la dimension est 1.

Question 44Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

L'intégrale impropre ∫₁^{+∞} (ln x)/x² dx :

  1. converge et vaut 0
  2. converge et vaut 1/2
  3. diverge, car ln x n'est pas intégrable en +∞
  4. converge et vaut 1 Correct answer.

Explanation

Une primitive de (ln x)/x² est −(ln x + 1)/x. En évaluant entre 1 et +∞, la borne infinie donne 0 et la borne 1 donne −1, donc l'intégrale vaut 1.

Question 45Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ = 3. La somme P(X = 0) + P(X = 1) vaut :

  1. 3e⁻³
  2. 1 − 4e⁻³
  3. 4e⁻³ Correct answer.
  4. e⁻³

Explanation

Pour une loi de Poisson de paramètre 3, P(X = 0) = e⁻³ et P(X = 1) = 3e⁻³. En additionnant, on obtient 4e⁻³.

Question 46Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

L'inverse de la matrice M = [[1,2],[3,4]] est :

  1. [[4,−2],[−3,1]]
  2. [[−2,1],[1,5;−0,5]] Correct answer.
  3. [[−2,1],[−1,5;0,5]]
  4. [[2,−1],[−1,5;0,5]]

Explanation

Le déterminant de M vaut 1×4 − 2×3 = −2. La comatrice donne alors M⁻¹ = (−1/2)[[4,−2],[−3,1]] = [[−2,1],[1,5;−0,5]].

Question 47Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Pour α réel, la série ∑_{n≥1} (−1)^n / n^α converge absolument si et seulement si :

  1. α ≥ 1
  2. α > 1 Correct answer.
  3. 0 < α ≤ 1
  4. α < 0

Explanation

La convergence absolue équivaut à la convergence de la série de Riemann ∑ 1/n^α. Celle-ci converge exactement lorsque α > 1.

Question 48Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Pour n ≥ 1, on pose I_n = ∫₀¹ n x(1 − x²)^n dx. La limite de I_n quand n tend vers +∞ vaut :

  1. 0
  2. 1/2 Correct answer.
  3. 1
  4. +∞

Explanation

Le changement de variable u = 1 − x² donne I_n = (n/2)∫₀¹ u^n du = n/(2(n+1)). Cette expression tend vers 1/2 quand n tend vers +∞.

Question 49Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle de paramètre 1. La loi de la variable X/(X + Y) est :

  1. uniforme sur [0,1] Correct answer.
  2. bêta(2,1)
  3. constante égale à 1/2
  4. exponentielle de paramètre 1

Explanation

On pose S = X + Y et R = X/(X + Y). Le jacobien vaut S, et la densité jointe de (S,R) se factorise en S e⁻ˢ fois l'indicatrice de 0 ≤ R ≤ 1. Après intégration en S, R suit donc la loi uniforme sur [0,1].

Question 50Mathématiques (analyse, algèbre, probabilités)

La limite quand x tend vers +∞ de (3x² − x + 1)/(x² + 2) vaut :

  1. 0
  2. 3 Correct answer.
  3. 1
  4. +∞

Explanation

Le numérateur et le dénominateur sont tous deux de degré 2. La limite à l'infini d'une fraction rationnelle de degrés égaux est le rapport des coefficients dominants, soit 3/1 = 3. Les termes de degré inférieur deviennent négligeables devant x².