EMIG Concours Ingénieur cheat sheet

Développements limités en 0 : e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²) ; ln(1+x) = x − x²/2 + o(x²) ; sin x = x − x³/6 + o(x³) ; (1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)x²/2 + o(x²).

Séries : si |u(n+1)/u(n)| tend vers L, convergence absolue pour L < 1, divergence pour L > 1 ; le cas L = 1 exige un autre critère (comparaison, équivalent, intégrales).

Théorème des accroissements finis : f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ ⇒ il existe c dans ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) ; corollaire : f' = 0 ⇒ f constante.

Intégration par parties : ∫ u dv = uv − ∫ v du ; choix de u selon l'ordre LIATE (logarithme, inverse, algébrique, trigonométrique, exponentielle).

Matrices : det(AB) = det A · det B ; A inversible ⇔ det A ≠ 0 ; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ; le rang est le nombre de pivots non nuls après échelonnement.

Valeurs propres : λ valeur propre de A ⇔ det(A − λI) = 0 ; trace(A) = somme des valeurs propres ; det(A) = produit des valeurs propres.

Probabilités : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ; P(A|B) = P(A∩B)/P(B) ; A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B).

Loi binomiale B(n,p) : E(X) = np, V(X) = np(1−p) ; loi normale N(μ,σ²) : centrer-réduire Z = (X−μ)/σ pour utiliser la table de Gauss.

Espérance et variance : E(aX+b) = aE(X) + b ; V(aX+b) = a²V(X) ; V(X) = E(X²) − [E(X)]².

Référentiel galiléen : ΣF = m·a (deuxième loi de Newton) ; mouvement rectiligne uniforme ⇔ résultante des forces nulle.

Mouvement circulaire de rayon R : accélération centripète a = v²/R = ω²R ; v = Rω ; ω = 2π/T.

Théorème de l'énergie cinétique : ΔE_c = W(F) ; énergie mécanique E_m = E_c + E_p conservée si seules les forces conservatives travaillent.

Circuit RC série : τ = RC ; charge u_C(t) = E(1 − e^(−t/τ)) ; décharge u_C(t) = E·e^(−t/τ) ; circuit RL : τ = L/R.

Loi d'Ohm et puissance : U = RI ; P = UI = RI² = U²/R ; diviseur de tension : U₂ = U · R₂/(R₁ + R₂).

Premier principe : ΔU = W + Q pour un système fermé ; travail mécanique quasi statique W = −∫P dV.

Gaz parfait : PV = nRT avec R = 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹ ; isotherme W = −nRT ln(V₂/V₁) ; isochore W = 0.

Second principe : ΔS(système) + ΔS(extérieur) ≥ 0 ; système isolé ⇒ ΔS ≥ 0 ; transformation réversible ⇔ ΔS = 0.

Cycle de Carnot : η = 1 − T_f/T_c, températures en kelvins ; aucune machine entre deux sources ne dépasse ce rendement.

Mole : n = m/M = N/N_A avec N_A ≈ 6,022×10²³ mol⁻¹ ; concentration C = n/V ; dilution C₁V₁ = C₂V₂.

pH = −log[H₃O⁺] ; [H₃O⁺]·[HO⁻] = 10⁻¹⁴ à 25 °C ; acide fort : pH = −log C ; base forte : pH = 14 + log C.

Solution tampon : pH = pKa + log([base]/[acide]) ; pouvoir tampon maximal lorsque pH = pKa.

Équilibre : K = produit des activités des produits / produit des activités des réactifs ; si Q < K, évolution dans le sens direct ; principe de Le Chatelier pour prévoir le déplacement.

Oxydoréduction : équilibrer les atomes puis les charges avec H⁺ (milieu acide) et H₂O ; E = E° + (0,059/n)·log([ox]/[red]) à 25 °C.

Configuration électronique : ordre de Klechkowski (1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p…), règle de Hund pour orbitales dégénérées, exclusion de Pauli.

Tableau périodique : électronégativité croissante de la gauche vers la droite et du bas vers le haut ; rayon atomique croissant dans le sens inverse.

Cristallographie : cubique faces centrées (coordinence 12, compacité 0,74) ; cubique centré (coordinence 8, compacité 0,68).

Structure interne : croûte, manteau, noyau externe liquide, noyau interne solide ; discontinuités de Mohorovičić (Moho), de Gutenberg (~2900 km) et de Lehmann (~5150 km).

Ondes sismiques : P (compression, ~6–8 km/s, solides et fluides), S (cisaillement, ~3,5–4,5 km/s, solides seulement), ondes de surface plus lentes et destructrices.

Localisation d'un séisme : le délai entre ondes P et S donne la distance à l'épicentre ; trois stations permettent la triangulation.

Tectonique des plaques : dorsales (divergence, création de lithosphère), subductions (convergence, volcanisme et séismes profonds), failles transformantes (coulissage).

Cycle des roches : magmatiques (refroidissement du magma), sédimentaires (altération, transport, dépôt, diagenèse), métamorphiques (pression et température sans fusion).

Minéraux : échelle de Mohs de 1 (talc) à 10 (diamant) ; les silicates, bâtis sur le tétraèdre SiO₄, constituent la majorité de la croûte.

Stratigraphie : principes de superposition, de continuité et d'identité paléontologique ; les fossiles stratigraphiques datent les couches.

Radiochronologie : N(t) = N₀·e^(−λt), demi-vie t₁/₂ = ln2/λ ; K-Ar et Rb-Sr datent les roches, le ¹⁴C les matières organiques récentes.

Français - participe passé avec avoir : accord avec le COD antéposé (les lettres que j'ai écrites) ; pas d'accord si le COD suit (j'ai écrit les lettres).

Français - subjonctif après « il faut que », « bien que », « pour que », « avant que », « je doute que » ; indicatif après « parce que », « puisque », « après que ».

Français - connecteurs : « cependant » opposition, « donc » conséquence, « en outre » addition, « néanmoins » concession, « en effet » explication.

Anglais - conditionnels : if + présent → will + infinitif ; if + prétérit → would + infinitif ; if + past perfect → would have + participe passé.

Anglais - voix passive : be + participe passé ; c'est « be » qui porte le temps de la phrase (The report was written by the engineer).

Anglais - modaux : must (obligation), should (conseil), may/might (possibilité), can (capacité), need not (absence d'obligation).

Faux amis : actually = en fait ; eventually = finalement ; library = bibliothèque ; attend = assister à ; sensible = raisonnable.

Discours indirect : recul d'un temps (present → past, will → would, can → could) et ajustement des repères de temps et de lieu.