Butée à ressort devant une cellule de pesée sur convoyeur incliné
Sur une ligne de conditionnement, des colis de 40 kg descendent un plan incliné à 25° sur une longueur de 7,1 m, soit une dénivellation de 3,0 m. En bas, un ressort de raideur k = 12 kN/m sert de butée devant une cellule de pesée fragile. La cellule est dimensionnée pour une compression maximale de 0,35 m ; au-delà, elle est endommagée et la ligne s'arrête. Le coefficient de frottement cinétique actuel est μ = 0,18. Les colis partent sans vitesse initiale. Le responsable maintenance a constaté des traces de frottement irrégulières et propose soit de revêtir le plan avec un matériau plus rugueux, soit d'ajouter un second ressort en série. Avant de commander, il veut savoir si le dispositif actuel est réellement sûr, avec un calcul reproductible et une marge claire. Il signale que le réglage du ressort peut varier de ±5 % et que la masse des colis peut atteindre 42 kg.
1. Calculer la vitesse du colis au contact du ressort, en explicitant le bilan d'énergie et le travail de frottement.
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Longueur parcourue sur le plan : s = h/sin25° = 3,0/0,4226 = 7,10 m.
Travail du poids : W_p = mgh = 40 × 9,81 × 3,0 = 1 177 J. Travail du frottement : W_f = μmg cos25° × s = 0,18 × 40 × 9,81 × 0,9063 × 7,10 = 454 J.
Énergie cinétique au contact : E_c = 1 177 − 454 = 723 J. Donc v = √(2 × 723/40) = √36,15 = 6,01 m/s.
Hypothèses : mouvement rectiligne, frottement sec constant, pas de rotation des colis, air négligé. La vitesse est suffisante pour que l'énergie ne soit pas négligeable devant la capacité du ressort.
2. Déterminer la compression maximale du ressort en tenant compte du frottement pendant la compression, puis conclure sur la sécurité de la cellule.
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Pendant la compression x, le poids apporte encore m g sin25° × x = 165,8x et le frottement retire μmg cos25° × x = 64,0x. Le bilan d'énergie s'écrit :
723 + 101,8x = 0,5 × 12 000 × x² = 6 000x².
Soit 6 000x² − 101,8x − 723 = 0. La racine positive vaut : x = [101,8 + √(101,8² + 4 × 6 000 × 723)]/(12 000) = 0,356 m.
La compression autorisée est 0,35 m : le dépassement est d'environ 6 mm, donc la cellule peut être endommagée. Si l'on négligeait le frottement pendant la compression, on trouverait 0,361 m, ce qui confirme que le dispositif n'est pas sûr. La marge est négative ; il ne s'agit pas d'une incertitude de calcul mais d'un dépassement réel.
3. Évaluer la proposition d'augmenter μ à 0,22. Calculer la nouvelle compression et discuter la marge avec m = 42 kg et k réduit de 5 %.
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Avec μ = 0,22 : W_f = (0,22/0,18) × 454 = 555 J, donc E_c = 622 J et v = 5,58 m/s.
Bilan de compression : 622 + (165,8 − 78,2)x = 6 000x², soit 6 000x² − 87,6x − 622 = 0. La racine positive donne x = 0,329 m. Au nominal, c'est acceptable.
Cependant, avec m = 42 kg et k réduit de 5 % (11 400 N/m), on obtient x ≈ 0,347 m, soit une marge de seulement 3 mm. Si μ retombe à 0,18 dans cette même configuration, x ≈ 0,374 m et la cellule est endommagée. Le revêtement plus rugueux est donc une piste, mais il faut garantir sa durabilité et contrôler le ressort. Un second ressort ou une butée de secours serait plus robuste qu'un simple revêtement.