Mathématiques : analyse, algèbre, probabilités
L'épreuve de mathématiques de l'EMIG évalue la rigueur du raisonnement et l'exactitude du calcul sur trois blocs : analyse (suites, fonctions, intégration, équations différentielles), algèbre linéaire (espaces vectoriels, matrices, diagonalisation) et probabilités (conditionnement, variables aléatoires, lois usuelles). Chaque exercice enchaîne une justification courte et un calcul vérifiable.
Analyse
- Convergence : suite monotone bornée, critères de comparaison, équivalents pour les séries à termes positifs ; un terme général qui tend vers 0 ne suffit jamais.
- Continuité, TVI, théorème des accroissements finis, développements limités à l'ordre strictement nécessaire.
- Intégration par parties, primitives usuelles, équations différentielles y' + a·y = b et second ordre à coefficients constants (discriminant, régime).
Algèbre
- Dimension, rang, théorème du rang, noyau et image ; liberté et caractère générateur d'une famille.
- Diagonalisation : polynôme caractéristique det(A − λI), valeurs propres, dimension des sous-espaces propres.
Probabilités
- P(A|B) = P(A∩B)/P(B), formule des probabilités totales, formule de Bayes.
- Espérance et variance d'une combinaison linéaire, loi binomiale B(n,p), loi de Poisson, loi normale centrée réduite.
Exemple rédigé
Soit A = [[2,1],[1,2]]. tr(A) = 4, det(A) = 3, donc χ(λ) = λ² − 4λ + 3 = (λ−1)(λ−3). Deux valeurs propres distinctes en dimension 2 : A est diagonalisable. Pour λ = 3, (A−3I)v = 0 impose −x + y = 0, d'où v = (1,1). Pour λ = 1, x + y = 0, d'où v = (1,−1). Ainsi A = PDP⁻¹ avec P = [[1,1],[1,−1]] et D = diag(3,1) ; la trace et le déterminant sont bien conservés.
Pièges qui coûtent des points
- Dériver sans avoir vérifié la continuité, ou inverser une matrice sans avoir justifié det(A) ≠ 0.
- Confondre convergence absolue et convergence simple.
- Annoncer « diagonalisable » sans contrôler la dimension des sous-espaces propres.
- Traiter deux événements comme indépendants alors que l'énoncé donne seulement leurs probabilités conditionnelles.