Bacteriegroei in yoghurt bij twee temperaturen
In een yoghurtfabriek wordt het aantal melkzuurbacteriën per milliliter gemeten. Bij een temperatuur van 30 °C geldt voor het aantal bacteriën N na t uur: N(t) = 4000 · 1,12^t. Bij 20 °C geldt: N(t) = 4000 · 1,04^t. De fabriek begint met 4000 bacteriën per mL. Men wil de yoghurt na 4 uur afkoelen van 30 °C naar 20 °C om de groei te remmen. De kwaliteitsnorm zegt dat het aantal bacteriën per mL na 6 uur niet boven 8000 mag uitkomen. De fabriek meet alleen bij het begin en na 6 uur; tussenliggende waarden worden met de formules geschat. Er is geen sterfte en de groei is exponentieel. Een medewerker beweert dat afkoelen na 4 uur weinig uitmaakt, omdat de bacteriën zich in de eerste 4 uur al sterk hebben vermenigvuldigd. De metingen worden gedaan in een laboratorium bij constante omstandigheden.
1. Bereken met hoeveel procent het aantal bacteriën per uur toeneemt bij 30 °C en bij 20 °C. Bereken ook de verdubbelingstijd bij 30 °C in uren (op één decimaal).
Read the worked answer
De formule bij 30 °C heeft groeifactor 1,12. Dat betekent een toename van 12% per uur. Bij 20 °C is de groeifactor 1,04, dus een toename van 4% per uur. Voor de verdubbelingstijd bij 30 °C moet gelden 1,12^t = 2. Dus t = log(2) / log(1,12) ≈ 0,30103 / 0,04922 ≈ 6,116. Afgerond is de verdubbelingstijd ongeveer 6,1 uur. Controle: 1,12^6 ≈ 1,974 en 1,12^7 ≈ 2,211, dus de verdubbeling ligt inderdaad tussen 6 en 7 uur.
2. Bereken het differentiequotiënt van N op het interval [2,6] bij 30 °C. Wat betekent dit getal in deze situatie?
Read the worked answer
Bij 30 °C geldt N(2) = 4000 · 1,12^2 = 4000 · 1,2544 = 5017,6. Verder is N(6) = 4000 · 1,12^6 ≈ 4000 · 1,97382 = 7895,3. Het verschil is 7895,3 − 5017,6 = 2877,7 bacteriën per mL over 4 uur. Het differentiequotiënt is 2877,7 / 4 ≈ 719,4 bacteriën per mL per uur. Dit is de gemiddelde toename per uur tussen t = 2 en t = 6. Het is niet de werkelijke toename op één tijdstip, want de groei wordt steeds sneller.
3. Bereken het aantal bacteriën na 6 uur als de yoghurt na 4 uur wordt afgekoeld. Vergelijk dit met de kwaliteitsnorm en met de situatie waarin niet wordt afgekoeld. Laat zien of de bewering van de medewerker klopt.
Read the worked answer
Tot t = 4 bij 30 °C geldt N(4) = 4000 · 1,12^4 ≈ 4000 · 1,57352 = 6294,1. Daarna groeit het aantal 2 uur bij 20 °C: N(6) ≈ 6294,1 · 1,04^2 = 6294,1 · 1,0816 ≈ 6807,7. Zonder afkoelen was N(6) ≈ 7895,3. Afkoelen scheelt dus ongeveer 1087,6 bacteriën per mL, oftewel ongeveer 13,8%. Beide waarden liggen onder de norm van 8000, dus de norm wordt in beide gevallen gehaald. De bewering dat afkoelen weinig uitmaakt, is te sterk: het scheelt duidelijk, maar het is hier niet beslissend voor het halen van de norm.