HAVO Wiskunde A cheat sheet

Een formule met meer variabelen: substitueer getallen tussen haakjes, dus 3·(5)+2 en niet 3·5+2, om voorrangsregels te bewaken.

Volgorde van bewerkingen: eerst haakjes, dan machten en wortels, dan vermenigvuldigen/delen van links naar rechts, dan optellen/aftrekken van links naar rechts.

Een tabel aflezen: zoek de juiste rij en kolom op de kopjes, niet op de eerste regel getallen; let op eenheid en op duizendtallen.

Een grafiek interpreteren: lees eerst de assen met hun eenheid en schaal, daarna snijpunten, toppen en het hellingsgedrag.

Grafisch oplossen van f(x)=g(x): zoek de x-coördinaten van de snijpunten van beide grafieken; bij f(x)<g(x) het interval waar grafiek f onder g ligt.

Eenheid omrekenen via een keten: 1 km = 1000 m, 1 m = 100 cm, 1 uur = 60 minuten = 3600 seconden; vermenigvuldig of deel per stap.

Procentpunt versus procent: stijgt 20% naar 25%, dan is dat 5 procentpunt en 25% relatieve stijging (5/20).

Aflezen met onzekerheid: bij een geschatte waarde uit een grafiek noteer je een marge, bijvoorbeeld 4,2 ± 0,1, passend bij de schaalverdeling.

Lineair verband: y = ax + b; a is de richtingscoëfficiënt (toename per stap in x) en b het startgetal (y bij x = 0).

Richtingscoëfficiënt uit twee punten: a = (y2 − y1)/(x2 − x1); daarna b vinden door één punt in y = ax + b in te vullen.

Exponentieel verband: y = b·g^x met groeifactor g; bij p% toename is g = 1 + p/100, bij p% afname g = 1 − p/100.

Verdubbelingstijd bij groeifactor g: los g^t = 2 op; bij benadering t = log(2)/log(g).

Omgekeerd evenredig verband: y = c/x; verdubbelt x, dan halveert y; de grafiek is een hyperbool die de assen niet snijdt.

Kwadratisch verband: y = ax² + bx + c; de top ligt bij x = −b/(2a) en de symmetrieas is de verticale lijn door die top.

Machten en wortels: x^(1/2) = √x, x^(−1) = 1/x, (x^a)^b = x^(ab); gebruik deze regels bij het herschrijven van formules.

Formule herschrijven: maak de gezochte variabele vrij door aan beide zijden dezelfde bewerking uit te voeren, in omgekeerde volgorde van de formule.

Lineair versus exponentieel onderscheiden: bij gelijke toenames per stap is het lineair, bij gelijke verhoudingen (factor) per stap exponentieel.

Gemiddelde verandering op [a, b]: Δy/Δx = (y(b) − y(a))/(b − a); dit is de helling van de koorde tussen de twee punten.

Differentiequotiënt is hetzelfde als gemiddelde verandering; de notatie Δy/Δx hoort bij een interval, niet bij één punt.

Toenamediagram: de staafjes geven opeenvolgende verschillen y(n+1) − y(n); is het toenamediagram constant, dan is de grafiek lineair.

Bij een lineair verband is de gemiddelde verandering op elk interval gelijk aan de richtingscoëfficiënt a.

Exponentiële groei: de verandering op een interval is evenredig met de waarde aan het begin van dat interval, dus Δy/Δt = (g − 1)·y.

Procentuele verandering: (nieuw − oud)/oud × 100%; opeenvolgende percentages vermenigvuldigen als factoren, niet optellen.

Gemiddelde groeivoet over n stappen: g = (eindwaarde/beginwaarde)^(1/n); dit is de vaste factor per stap.

Helling van een grafiek aflezen: teken een raaklijn en bepaal daarvan Δy/Δx met een zo groot mogelijk interval voor nauwkeurigheid.

Kans bij een kansexperiment met gelijkwaardige uitkomsten: P = aantal gunstige uitkomsten / aantal mogelijke uitkomsten.

Complementregel: P(niet A) = 1 − P(A); vaak sneller dan alle gunstige gevallen tellen.

Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A en B) = P(A)·P(B); trekken zonder terugleggen geeft afhankelijke kansen.

Somregel bij disjuncte gebeurtenissen: P(A of B) = P(A) + P(B); overlappen ze, trek dan P(A en B) één keer af.

Verwachtingswaarde: E = Σ (waarde × kans); dit is het gemiddelde op lange termijn, niet de meest voorkomende waarde.

Mediaan: zet waarnemingen op volgorde en neem de middelste; bij een even aantal het gemiddelde van de twee middelste waarden.

Modus is de waarneming met de hoogste frequentie; bij klassen hoort de modale klasse bij de hoogste staaf van het histogram.

Spreiding: het bereik is max − min; de standaardafwijking is ongeveer de gemiddelde afwijking van het gemiddelde, groter bij meer spreiding.

Bij een klassenindeling met frequenties: gebruik klassenmiddens voor het schatten van het gemiddelde, met frequentie × klassenmidden gedeeld door het totaal.

Stappenplan bij een contextopgave: benoem de gevraagde grootheid met eenheid, kies een model (lineair, exponentieel, kans), reken en controleer op realistische orde van grootte.

Een model opstellen uit een tabel: controleer eerst of verschillen constant zijn (lineair) of verhoudingen constant zijn (exponentieel).

Extrapoleren buiten het meetbereik is onbetrouwbaar; vermeld dat het model daar niet is onderbouwd door gegevens.

Bij een formule met machten: let op de eenheid van de invoer (tijd in dagen of jaren) en op de eenheid van de uitvoer.

Kritisch lezen van een percentage in een bron: vraag naar de noemer (percentage van welke groep?) en naar de absolute aantallen.

Absolute versus relatieve aantallen: een verdubbeling van een klein aantal kan een groot percentage zijn maar weinig personen betreffen.

Bij een schatting uit een diagram: noteer de afgelezen waarde met een marge en geef aan hoe die marge uit de schaal volgt.

Een bewering controleren: reken het getal na met de gegeven formule of tabel; een bewering is pas juist als de berekening klopt binnen de afronding.

Afronden: kijk naar het eerstvolgende cijfer; bij 5 of hoger naar boven, anders naar beneden; rond pas op het einde af, niet tussentijds.

Wetenschappelijke notatie: 3,2 × 10^4 = 32000; bij vermenigvuldigen de getallen vermenigvuldigen en de exponenten optellen.

Rekenen met een verhoudingstabel: vermenigvuldig kruislings; 3/4 = x/12 geeft 4x = 36, dus x = 9.

Interpoleren tussen twee tabelwaarden: reken lineair met de tussenliggende afstand, bijvoorbeeld 40% van de weg tussen 10 en 20 geeft 14.

Snijpunt van twee lijnen: stel ax + b = cx + d op en los op naar x; vul x daarna in voor de y-coördinaat.

Evenwicht bij exponentiële vergelijkingen: b·g^x = c geeft g^x = c/b; gebruik logaritmen of inklemmen in een tabel.

Negatieve exponent betekent omgekeerde: g^(−x) = 1/g^x; dit hoort bij een dalende exponentiële grafiek als g > 1.

Formule met haakjes: a(b + c) = ab + ac; omgekeerd ontbinden kan helpen bij het oplossen van vergelijkingen.

Procentuele afname met factor: 100 → 80 betekent factor 0,8; twee keer 20% korting geeft factor 0,8² = 0,64, dus 36% korting totaal.

Groeipercentage per jaar uit een factor: p = (g − 1) × 100%; factor 1,07 hoort bij 7% groei per jaar.

Gemiddelde snelheid: afstand/ tijd; bij wisselende snelheden is het gemiddelde niet het gemiddelde van de snelheden maar totaal afstand gedeeld door totale tijd.

Verschil tussen absolute en relatieve toename: absolute toename is nieuw − oud, relatieve toename deelt dat verschil door de oude waarde.

Trekken zonder terugleggen: de noemer daalt per trek; P(twee rood) = (a/n)·((a−1)/(n−1)).

Met terugleggen blijven de kansen per trek gelijk; de gebeurtenissen zijn dan onafhankelijk.

Steekproef versus populatie: een conclusie over de populatie vraagt een representatieve steekproef; een kleine of scheve steekproef geeft geen betrouwbaar beeld.

Bij een kruistabel: relatieve frequenties per rij of per kolom berekenen; de keuze van de noemer verandert de conclusie.

Een formule met constante term: bij y = 0,5x + 20 is 20 de vaste beginwaarde en 0,5 de toename per eenheid x.

Modelkeuze onderbouwen: noem het patroon in de gegevens (constante verschillen of constante verhoudingen) als argument voor lineair of exponentieel.

Grafiek bij een context: benoem wat de assen voorstellen en wat een snijpunt of top in de context betekent, niet alleen de coördinaten.

Controle van een berekening: vul de uitkomst terug in de oorspronkelijke formule of tabel en vergelijk met de gegevens.

Bij een vloeiende grafiek: een raaklijn geeft de helling op één punt, een koorde geeft de gemiddelde helling over een interval.

Bij een staafdiagram: de hoogte geeft de frequentie; bij een histogram hoort de oppervlakte van een staaf bij de frequentie in die klasse.

Bij een steel-bladdiagram: de steel is het tiental, het blad de eenheid; zo lees je snel mediaan en spreiding af.

Bij een boxplot: de doos loopt van het eerste tot het derde kwartiel, de streep in de doos is de mediaan en de lijnen geven de uiterste waarden.

Translatie: y = f(x) + c schuift de grafiek c omhoog; y = f(x − c) schuift c naar rechts.

Vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as: y = c·f(x) rekt verticaal uit met factor c; bij c < 0 klapt de grafiek om.

Wortelvergelijking: √x = a heeft alleen een oplossing als a ≥ 0; kwadrateer beide zijden en controleer.

Grafiek van een exponentieel verband met b > 0 en g > 1 stijgt en nadert de x-as voor x → −∞.

Bij een toenemende grafiek is Δy/Δx positief; bij een afnemende grafiek negatief.

Bij een maximum is de helling 0; links stijgt de grafiek, rechts daalt zij.

De gemiddelde verandering over een interval is de helling van de lijn tussen de eindpunten, niet de helling in een tussenliggend punt.

Bij een dalende exponentiële grafiek wordt de daling per stap relatief kleiner, maar de absolute daling neemt af naarmate y kleiner is.

P(A of B) = P(A) + P(B) − P(A en B); de laatste term voorkomt dubbeltellen van de overlap.

Voorwaardelijke kans: P(A | B) = P(A en B)/P(B); dit is de kans op A binnen de groep waarin B geldt.

Kansen liggen tussen 0 en 1; een kans boven 1 of onder 0 wijst op een rekenfout.

Bij een vaasmodel: noteer eerst het totaal aantal knikkers en het aantal per kleur voordat je kansen berekent.

Bij een grafiek uit een bron: controleer of de y-as bij 0 begint; een afgebroken as overdrijft verschillen.

Bij een gemiddelde uit een bron: vraag of het een gewogen gemiddelde is; groepen van verschillende grootte wegen niet even zwaar.

Bij een indexcijfer: het basisjaar heeft waarde 100; een index van 125 betekent 25% stijging ten opzichte van het basisjaar.

Bij een bewering met 'per hoofd van de bevolking': deel door het inwonertal en let op de eenheid (per persoon per jaar).