Breekbare pakketten in de eerste bezorgrit
Een pakketbezorger heeft voor een wijk 10 pakketten in de bus. Precies 3 daarvan zijn breekbaar. Voor de eerste rit pakt hij willekeurig 3 pakketten uit de bus, zonder terugleggen. De bezorger krijgt een bonus als hij in de eerste rit minstens 2 breekbare pakketten meeneemt. Hij beweert dat de kans daarop klein is, omdat er maar 3 breekbare pakketten zijn. Zijn planner denkt dat de kans juist groot is, omdat 3 van de 10 breekbaar is. De bezorger neemt de pakketten één voor één uit de bus; de volgorde is willekeurig. Er wordt niet gekeken naar gewicht of andere kenmerken. De eerste rit bestaat altijd uit precies 3 pakketten. De pakketten worden aselect gekozen; elk pakket heeft dezelfde kans om in de eerste rit te zitten. De bonus wordt alleen over de eerste rit berekend.
1. Bereken de kans dat de bezorger minstens 2 breekbare pakketten in de eerste rit heeft. Laat je berekening zien.
Read the worked answer
De kans op minstens 2 breekbare pakketten is de kans op precies 2 plus de kans op precies 3. Voor precies 3 breekbare pakketten: (3/10) × (2/9) × (1/8) = 6/720 = 1/120 ≈ 0,0083. Voor precies 2 breekbare pakketten moet je ook de plaats van het niet-breekbare pakket meenemen; er zijn 3 volgorden. De kans is 3 × (3/10) × (2/9) × (7/8) = 3 × 42/720 = 126/720 = 7/40 = 0,175. Samen is de kans 0,175 + 0,0083 ≈ 0,1833, dus ongeveer 18,3%.
2. Bereken de verwachtingswaarde van het aantal breekbare pakketten in de eerste rit. Leg uit of dit getal de bonusregel goed samenvat.
Read the worked answer
Elk van de 3 gekozen pakketten heeft kans 3/10 = 0,3 om breekbaar te zijn. De verwachtingswaarde is dus 3 × 0,3 = 0,9 breekbare pakketten per rit. Gemiddeld zit er dus net geen 1 breekbaar pakket in de eerste rit. Dat betekent niet dat de kans op minstens 2 automatisch klein is, maar het geeft wel aan dat 2 of meer bovengemiddeld is. De conclusie van de planner dat de kans “juist groot” is, klopt niet: de berekende kans is ongeveer 18,3%, dus minder dan één op de vijf.
3. De planner stelt voor om de eerste rit 4 pakketten te laten bevatten. Bereken de kans op minstens 2 breekbare pakketten in dat geval. Gebruik dezelfde bus met 3 breekbare en 7 niet-breekbare pakketten.
Read the worked answer
Bij 4 pakketten is de kans op minstens 2 breekbaar gelijk aan 1 minus de kans op 0 of 1 breekbaar pakket. De kans op 0 breekbare pakketten is (7/10) × (6/9) × (5/8) × (4/7) = 840/5040 = 1/6 ≈ 0,1667. De kans op precies 1 breekbaar pakket is 4 × (3/10) × (7/9) × (6/8) × (5/7) = 4 × 630/5040 = 2520/5040 = 0,5. Dus is de kans op minstens 2 gelijk aan 1 − 0,1667 − 0,5 = 0,3333, ongeveer 33,3%. Met 4 pakketten stijgt de kans dus van ongeveer 18,3% naar ongeveer 33,3%.