Padelhal Rally: welke uurprijs levert de meeste winst?
Padelhal Rally verhuurt acht padelbanen per uur. Uit klantonderzoek blijkt dat bij een uurprijs van p euro (15 ≤ p ≤ 35) het aantal verhuurde baanuren per week gelijk is aan N(p) = 520 − 12p. De vaste kosten van de hal zijn € 3.400 per week. Elke verhuurde baan kost daarnaast € 4 per uur aan schoonmaak en onderhoud. De weekwinst in euro's is dus W(p) = p · N(p) − 3.400 − 4 · N(p). Op dit moment rekent de hal € 22,50 per uur; de hal heeft een capaciteit van 560 verhuurde baanuren per week en daar wordt bij lange na niet aan gezeten. De eigenaar wil de prijs verhogen naar € 25,00, omdat elke klant dan meer betaalt en er volgens hem dus meer winst overblijft. De boekhouder waarschuwt dat er bij een hogere prijs ook uren wegvallen. De eigenaar vraagt zich af wat de beste prijs is en of zijn plan van € 25,00 verstandig is.
1. Bereken bij welke uurprijs de weekwinst volgens dit model maximaal is en hoe groot die maximale winst is. Ga ook na of de capaciteit van 560 baanuren de uitkomst beïnvloedt.
Read the worked answer
Eerst haakjes wegwerken:
W(p) = p(520 − 12p) − 3400 − 4(520 − 12p) = 520p − 12p² − 3400 − 2080 + 48p = −12p² + 568p − 5480.
Differentiëren: W'(p) = −24p + 568. Nul stellen geeft p = 568/24 ≈ 23,67. Omdat de coëfficiënt van p² negatief is, is W een bergparabool en is dit inderdaad een maximum.
Invullen: W(23,67) = −12 · 23,67² + 568 · 23,67 − 5480 ≈ € 1.241 per week.
Bij die prijs hoort N(23,67) = 520 − 12 · 23,67 ≈ 236 verhuurde baanuren. Dat is ruim minder dan 560, dus de capaciteit beperkt de uitkomst niet en de randvoorwaarde 15 ≤ p ≤ 35 is ook niet actief.
Conclusie: ongeveer € 23,67 per uur, met een weekwinst van circa € 1.241.
2. De eigenaar overweegt de prijs te verhogen van € 25,00 naar € 26,00. Benader met de afgeleide hoeveel winst dat kost en bereken daarna de werkelijke winstverandering. Verklaar het verschil.
Read the worked answer
W'(p) = −24p + 568, dus W'(25) = −600 + 568 = −32. Rond p = 25 daalt de winst dus met ongeveer € 32 per euro prijsstijging; een stap van € 25,00 naar € 26,00 zou ongeveer € 32 kosten.
Exact: W(25) = −12 · 625 + 568 · 25 − 5480 = −7500 + 14 200 − 5480 = € 1.220 en W(26) = −12 · 676 + 568 · 26 − 5480 = −8112 + 14 768 − 5480 = € 1.176. De werkelijke daling is dus € 44.
Het verschil komt doordat de afgeleide alleen de helling in één punt geeft. De grafiek van W is een bergparabool die steeds steiler gaat lopen (W'' = −24), waardoor de winst over een hele euro extra daalt met ongeveer ½ · 24 · 1² = € 12 bovenop de € 32. Bij een stap van een euro is de raaklijn dus geen betrouwbare voorspelling: reken de winst dan gewoon uit. Ook ten opzichte van het optimum (€ 1.241) verliest € 25,00 dus ongeveer € 21 per week.
3. Laat met een berekening zien hoe het winstverschil tussen p ≈ 23,67 en p = 25,00 is opgebouwd uit een verandering van de omzet en een verandering van de variabele kosten.
Read the worked answer
Bij p ≈ 23,67: N ≈ 236, omzet = 23,67 · 236 ≈ € 5.585 en variabele kosten = 4 · 236 = € 944.
Bij p = 25,00: N = 520 − 300 = 220, omzet = 25 · 220 = € 5.500 en variabele kosten = 4 · 220 = € 880.
De omzet daalt met € 85, de variabele kosten dalen met € 64. Per saldo daalt de winst met 85 − 64 ≈ € 21 (exact € 21,33); de vaste kosten veranderen niet.
Anders opgeschreven: er vallen 16 verhuurde uren weg, die bij de oude prijs elk 23,67 − 4 = € 19,67 netto opbrachten (samen ruim € 314), terwijl de 220 overgebleven uren samen 220 · 1,33 ≈ € 293 extra opbrengen. De vraag reageert hier dus zo sterk op de prijs dat de prijsstijging zichzelf niet terugverdient. De redenering 'iedere klant betaalt meer, dus meer winst' klopt alleen als het aantal verkochte uren niet te ver terugloopt.