VWO Wiskunde A cheat sheet

Modelopbouw in vier stappen: variabelen benoemen met eenheid, aannames expliciet maken, formule opstellen, model controleren met randgevallen of gegeven data.

Eenheid controleren door dimensieanalyse: als links een snelheid staat (m/s) moet rechts ook m/s uitkomen; een constante met verkeerde eenheid is direct fout.

Algebraïsche oplosroute: breuken wegwerken door kruislings vermenigvuldigen, dan haakjes uitwerken, dan alle termen naar één kant, dan ontbinden of de abc-formule.

Grafiek lezen: snijpunt met de y-as geeft de beginwaarde, snijpunt met de x-as geeft de nulwaarde, helling van de raaklijn geeft de momentane verandering.

Rekenmachine: zet het apparaat in de juiste hoekmaat (graden bij hoeken in graden, radialen bij goniometrie in de analyse) en noteer tussenresultaten niet afgerond.

Afronden: rond pas aan het eind af, en bij tussenstappen één cijfer extra; geef bij contextopgaven de eenheid en een passende nauwkeurigheid.

Bewijsstructuur: benoem gegeven en gevraagde, werk van gegeven naar gevraagde met tussenstappen die elk volgen uit een definitie, formule of eerder resultaat.

Controleer een oplossing door substitutie in de oorspronkelijke vergelijking en door te schatten of de uitkomst in de context realistisch is.

Transformaties van y = f(x): y = a·f(b(x − c)) + d geeft verticale vermenigvuldiging met a, horizontale met 1/b, verschuiving c naar rechts en d omhoog.

Exponentiële functie y = b·g^x met groeifactor g > 0; bij g > 1 stijgend, bij 0 < g < 1 dalend, en de horizontale asymptoot is y = 0.

Machtfunctie y = a·x^p: bij even p symmetrie in de y-as, bij oneven p puntsymmetrie in de oorsprong; p negatief geeft een hyperboolachtige grafiek.

Vergelijkingen met machten oplossen door beide zijden als macht van hetzelfde grondtal te schrijven: g^A = g^B geeft A = B.

Logaritme als inverse: y = g^x is gelijkwaardig met x = ^g log(y); dit gebruik je om een onbekende uit de exponent te halen.

Wortels en gebroken machten: x^(1/n) = de n-de machts wortel van x, en x^(m/n) is de n-de machts wortel van x^m; dit maakt differentiëren met breukexponenten mogelijk.

Asymptoten: verticale asymptoot waar de noemer nul is en de teller niet, horizontale asymptoot uit de verhouding van de hoogste machten bij rationale functies.

Ongelijkheden: los eerst de gelijkheid op, bepaal de snijpunten, en lees uit de grafiek of het interval tussen of buiten de snijpunten voldoet.

Afgeleide als limiet van het differentiequotiënt: f′(x) = lim(h→0) van (f(x+h) − f(x))/h; het differentiequotiënt op [a,b] is de gemiddelde verandering.

Standaardafgeleiden: (x^n)′ = n·x^(n−1), (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x, (g^x)′ = g^x · ln g.

Productregel (f·g)′ = f′·g + f·g′ en quotiëntregel (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g².

Kettingregel: [f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x); bij e^(u) is de afgeleide e^(u) · u′.

Raaklijn in x = a: richtingscoëfficiënt is f′(a), vergelijking y = f′(a)·(x − a) + f(a).

Extremen: los f′(x) = 0 op en gebruik een tekenoverzicht van f′ of de tweede afgeleide om minimum of maximum te onderscheiden.

Optimaliseren in context: druk de te maximaliseren grootheid uit in één variabele met de gegeven nevenvoorwaarde, differentieer, stel nul en controleer de randvoorwaarden.

Toenamesnelheid: f′(a) is de momentane verandering op x = a; de gemiddelde verandering op [a,b] is (f(b) − f(a))/(b − a).

Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A en B)/P(B), mits P(B) > 0; vermenigvuldigregel P(A en B) = P(A|B)·P(B).

Onafhankelijkheid: A en B zijn onafhankelijk precies dan als P(A en B) = P(A)·P(B), equivalent met P(A|B) = P(A).

Complementregel: P(niet A) = 1 − P(A); bij 'minstens één' is de complementtelmethode bijna altijd sneller.

Binomiale verdeling: X ~ Bin(n, p) met P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); gebruik bij vaste n, vaste p en onafhankelijke herhalingen.

Verwachtingswaarde en standaardafwijking binomiaal: E(X) = n·p en σ(X) = √(n·p·(1−p)).

Normale verdeling: P(X ≤ a) = normalcdf(−10^99, a, μ, σ); standaardiseren met z = (x − μ)/σ en terugzoeken met invNorm.

Continuïteitscorrectie bij binomiaal benaderen met normaal: gebruik grenzen k − 0,5 en k + 0,5 en controleer n·p ≥ 5 en n·(1−p) ≥ 5.

Kansbomen: vermenigvuldig langs een tak, tel op over takken die bij dezelfde gebeurtenis horen; let op met of zonder terugleggen.

Centrummaten: gemiddelde is gevoelig voor uitschieters, mediaan niet; bij scheve verdelingen beschrijft de mediaan het centrum beter.

Spreidingsmaten: variantie is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen, standaardafwijking is de wortel daarvan; bij een steekproef deel je door n − 1.

Boxplot: mediaan, kwartielen Q1 en Q3, interkwartielafstand IQR = Q3 − Q1; uitschieters liggen buiten Q1 − 1,5·IQR of Q3 + 1,5·IQR.

Normale benadering: bij een normaal verdeelde populatie is het steekproefgemiddelde normaal met μ en σ/√n (standaardfout).

Betrouwbaarheidsinterval voor μ bij bekende σ: x̄ ± z*·σ/√n, met z* = 1,96 bij 95% en z* = 2,58 bij 99%.

Hypothesetoets: formuleer H0 en H1, kies significantieniveau α, bereken de overschrijdingskans en verwerp H0 als die kans ≤ α.

Eenzijdig of tweezijdig: bij H1: μ > μ0 toets je één kant, bij H1: μ ≠ μ0 verdeel je α over beide staarten.

P-waarde interpreteren: de kans op een uitkomst die minstens zo extreem is als waargenomen, gegeven dat H0 waar is; dit is niet de kans dat H0 waar is.

Lineair verband y = a·x + b: a is de helling (verandering per eenheid), b het startgetal; bij een rechte lijn door punten geldt a = Δy/Δx.

Exponentieel verband y = b·g^x: gelijke toenames van x geven een constante vermenigvuldigingsfactor g; g = 1 + r met r de relatieve groei per stap.

Verdubbelingstijd bij exponentiële groei: T = ln 2 / ln g; halveringstijd analoog met ln(1/2)/ln g.

Logaritmisch verband y = a + b·ln x of y = a·log x: rechte lijn op enkel-logaritmisch papier, wat geschikt is als de groei afvlakt.

Machtverband y = a·x^p: zet log y tegen log x uit, dan is de helling p en het snijpunt log a; dus rechte lijn op dubbel-logaritmisch papier.

Logaritmische schaal: één decennium is een factor 10; een afstand van 3 op een log-as betekent een factor 1000.

Regressie: de kleinste-kwadratenlijn minimaliseert de som van gekwadrateerde verticale afwijkingen; de correlatiecoëfficiënt r meet de sterkte van het lineaire verband.

Modelkeuze: kijk naar constante absolute toename (lineair), constante relatieve toename (exponentieel), of afnemende groei (logaritmisch of begrensd).

Toenamediagram: staafjes geven de toename Δy per interval; een positief staafje betekent stijging, een negatief staafje daling van de oorspronkelijke grafiek.

Van toenamediagram naar grafiek: tel de toenames cumulatief op vanaf een bekend startpunt; de grafiek is dan op één verticale verschuiving na bepaald.

Constante toename per interval geeft een lineaire grafiek; toenemende positieve toenames geven een convex stijgende grafiek.

Differentiegrafiek: de grafiek van de afgeleide ligt boven de x-as waar de functie stijgt, snijdt de x-as in extremen en is dalend waar de functie hol is.

Somgrafiek: bij een cumulatieve grootheid is de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek gelijk aan de totale toename over dat interval.

Discreet versus continu: bij discrete stappen gebruik je verschillen Δy = y(n+1) − y(n); bij continu gebruik je de afgeleide als momentane verandering.

Gemiddelde verandering op [a,b] is de helling van de koorde, momentane verandering is de helling van de raaklijn; bij een lineair verband zijn die gelijk.

Een maximum van de groeisnelheid (steilste punt) vind je waar de afgeleide van de afgeleide nul is, dus in een buigpunt van de oorspronkelijke grafiek.