Velodroom: wat betekent een positieve accutest echt?
Fietsenwinkel Velodroom verkoopt accu's voor e-bikes. Van alle accu's komt 60% van leverancier A en 40% van leverancier B. Bij leverancier A is 4% van de accu's defect, bij leverancier B is dat 7%. De winkel test elke binnenkomende accu met een sneltest. Die test slaat aan bij 90% van de defecte accu's. Bij een goede accu slaat de test onterecht aan in 8% van de gevallen. Een accu die positief test, gaat niet in de verkoop maar wordt teruggestuurd naar de leverancier. De bedrijfsleider kijkt naar de cijfers en zegt: 'Deze test pakt 90% van de defecte accu's, dus bijna alles wat we terugsturen is ook echt defect; die test verdient zichzelf ruim terug.' De inkoper twijfelt en wijst erop dat er ook veel goede accu's worden teruggestuurd. Een gemiddelde zending bevat 40 accu's, aselect gekozen uit de totale aanvoer van beide leveranciers.
1. Bereken de kans dat een willekeurig gekozen accu defect is en de kans dat zo'n accu positief test.
Read the worked answer
Defect (gewogen naar leverancier): P(D) = 0,60 · 0,04 + 0,40 · 0,07 = 0,024 + 0,028 = 0,052.
Positief testen kan op twee manieren: de accu is defect, of de accu is goed en de test slaat onterecht aan. P(+) = P(D) · P(+|D) + P(niet D) · P(+|niet D) = 0,052 · 0,90 + 0,948 · 0,08 = 0,0468 + 0,07584 ≈ 0,1226.
Dus ongeveer 12,3% van alle accu's wordt teruggestuurd. Belangrijk detail: de 8% fout-positieven moet je toepassen op de 94,8% goede accu's, niet op alle accu's. Wie hier 0,08 · 1 neemt in plaats van 0,08 · 0,948 krijgt een te hoge uitkomst.
2. Bereken de kans dat een accu die positief test ook echt defect is. Beoordeel met dat getal de uitspraak van de bedrijfsleider.
Read the worked answer
P(D | +) = P(D en +) / P(+) = 0,0468 / 0,12264 ≈ 0,382, dus ongeveer 38%.
De bedrijfsleider haalt twee voorwaarden door elkaar: 90% is P(+ | D), de kans dat een défecte accu positief test. Hij gebruikt het als P(D | +), de kans dat een positieve accu defect is. Dat zijn verschillende getallen.
Per 1000 accu's: ongeveer 47 terecht positief en ongeveer 76 onterecht positief. Van de 123 teruggestuurde accu's zijn er dus maar 47 echt defect; ruim zes op de tien zijn in orde. De oorzaak is de lage basiskans: er zijn veel meer goede dan defecte accu's, waardoor de 8% fout-positieven in absolute aantallen zwaarder wegen. De test bespaart de winkel wel veel defecte accu's, maar de uitspraak dat bijna alles wat wordt teruggestuurd echt defect is, is onjuist.
3. Bereken de kans dat in een zending van 40 accu's minstens 3 defecte accu's zitten.
Read the worked answer
Het aantal defecte accu's X is binomiaal verdeeld met n = 40 en p = 0,052, mits je de accu's als onafhankelijke aselecte trekkingen uit de totale aanvoer mag zien.
P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2). P(X = 0) = 0,948^40 ≈ 0,1179 P(X = 1) = 40 · 0,052 · 0,948^39 ≈ 0,2587 P(X = 2) = 780 · 0,052² · 0,948^38 ≈ 0,2767
Samen ≈ 0,653, dus P(X ≥ 3) ≈ 0,347 (op de GR: 1 − binomcdf(40; 0,052; 2)). Ongeveer 35%.
Kanttekening: de onafhankelijkheid is een aanname. Zit er één slechte productiepartij tussen, dan komen defecten juist gegroepeerd voor en is de kans op drie of meer defecten groter dan dit getal.