Yoghurtfabriek Dalzicht: exponentieel of lineair vooruitrekenen?
Yoghurtfabriek Dalzicht bewaart melk in een roestvrijstalen tank. De kwaliteitsafdeling meet het aantal bacteriën per milliliter (kve/ml). Om 8:00 uur 's ochtends (t = 0) zijn dat er 2.500. Vier uur later meet men 8.300 kve/ml en na acht uur 27.600 kve/ml. De afdeling vermoedt exponentiële groei: B(t) = 2.500 · g^t, met t in uren. Zodra het aantal boven de 50.000 kve/ml komt, moet de tank worden geleegd en gereinigd; dat kost een halve productiedag. De productieleider kijkt alleen naar de eerste vier uur: daar kwamen per uur gemiddeld 1.450 kve/ml bij. Hij rekent voor: 'Om 16:00 uur, aan het eind van de dienst, zitten we op 2.500 + 8 × 1.450 = 14.100 kve/ml, dus we hoeven vandaag niets te doen.' De kwaliteitsmanager vertrouwt die uitkomst niet en zet de drie metingen uit op een grafiek met een logaritmische verticale as. Daar blijken de punten vrijwel op één rechte lijn te liggen.
1. Bereken de groeifactor per uur volgens het model B(t) = 2.500 · g^t en controleer of de meting na acht uur bij dit model past.
Read the worked answer
Uit de meting bij t = 4 volgt 2.500 · g^4 = 8.300, dus g^4 = 3,32 en g = 3,32^(1/4) ≈ 1,35.
Controle bij t = 8: B(8) = 2.500 · 1,35^8 ≈ 2.500 · 11,03 ≈ 27 580 kve/ml. Gemeten is 27 600, een verschil van nog geen tiende procent. Het exponentiële model past dus goed bij alle drie de metingen.
Alternatieve controle: vanaf t = 4 neemt het aantal in vier uur met dezelfde factor 3,32 toe, dus 8.300 · 3,32 ≈ 27 556. Ook dat klopt binnen de afronding. De conclusie is dat de groei per uur met een vaste factor 1,35 (dus +35% per uur) beschreven kan worden.
2. Bereken hoe laat de tank volgens het model geleegd en gereinigd moet worden.
Read the worked answer
Los op: 2.500 · 1,35^t = 50 000, dus 1,35^t = 20.
t = log(20)/log(1,35) ≈ 1,3010/0,1303 ≈ 9,99 uur.
Dat is vrijwel 10 uur na 8:00, dus rond 18:00 uur. De productieleider moet de reiniging dus aan het einde van de dienst inplannen en mag niet tot de volgende ochtend wachten.
De marge is klein: bij t = 10,5 zit je al op 2.500 · 1,35^10,5 ≈ 58 000 kve/ml. Een veiligheidsmarge van een uur in de planning is verstandig, want de groeifactor is uit drie metingen geschat en kleine afwijkingen in g werken door in de tijd tot de grens.
3. Bereken hoeveel de schatting van de productieleider (14 100) afwijkt van de modelwaarde en leg uit waarom de lineaire extrapolatie zo ver ernaast zit. Betrek de logaritmische as in je uitleg.
Read the worked answer
Volgens het model is B(8) ≈ 27 580; de leider schat 14 100. Hij zit er dus ongeveer 13 500 kve/ml naast, bijna een factor 2 te laag.
Zijn rekenwijze gaat uit van een vaste toename van 1 450 per uur. Die 1 450 is het gemiddelde over de eerste vier uur en is zelf al het resultaat van de groei: in het eerste uur komt er veel minder bij dan in het vierde. Bij exponentiële groei is niet de absolute toename constant, maar de relatieve: elk uur wordt het aantal 1,35 keer zo groot.
Op een logaritmische verticale as wordt B(t) = 2.500 · 1,35^t een rechte lijn met helling log(1,35) ≈ 0,13 per uur; de drie metingen liggen daar inderdaad op, en dat is het signaal dat exponentiële groei het juiste model is. Een rechte lijn op een gewone as zou alleen over een heel kort interval een redelijke benadering geven en is dus onbruikbaar om zes uur vooruit te rekenen.