Differentiëren: helling, raaklijn en optimaliseren
Afgeleide en raaklijn
De afgeleide f'(x) geeft de helling van de grafiek en de momentane verandering. Voor machten geldt (x^n)'=n·x^(n-1); verder gebruik je de somregel en de kettingregel: (f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x). De raaklijn aan y=f(x) in x=a is y=f(a)+f'(a)(x-a). Stijgen en dalen lees je uit het teken van f'; een extremum vind je waar f'=0 of waar f' van teken wisselt, binnen het domein van de context.
Optimaliseren in context
Stel eerst een formule op voor de grootheid die je wilt maximaliseren of minimaliseren. Differentieer, los f'=0 op, controleer met een tekenoverzicht of met de randwaarden. Vergelijk altijd de kandidaten, want een maximum kan ook aan de rand van het toegestane domein liggen. Geef antwoord met eenheid en pas daarna afronden.
Uitgewerkt voorbeeld
Gegeven f(x)=x^3-3x^2+2. Dan f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). De raaklijn in x=1: f(1)=1-3+2=0 en f'(1)=3-6=-3. Dus y=0-3(x-1)=-3x+3. De extremen zijn x=0 (f=2) en x=2 (f=-2). Uit het teken van f' volgt: stijgend voor x<0, dalend tussen 0 en 2, stijgend voor x>2. Dus maximum 2 bij x=0 en minimum -2 bij x=2.
Valkuilen
- De kettingregel vergeten bij samengestelde functies.
- f'(a) als y-coördinaat gebruiken in plaats van als helling.
- Randwaarden niet controleren bij optimalisering.
- Differentiëren naar de verkeerde variabele of eenheid.