Veranderingen en toenamediagrammen: verschil, som en accumulatie
Verschil, som en snelheid
Een toenamediagram laat per interval de verandering Δy zien. De bijbehorende somgrafiek vind je door te cumuleren: y_n=y_0+Δy_1+...+Δy_n. Omgekeerd geeft het differentiequotiënt van een somgrafiek de gemiddelde verandering per stap. Bij continue veranderingen is de afgeleide de momentane snelheid en de integraal de totale accumulatie: de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek is de afgelegde afstand. Let op het teken: oppervlakte onder de t-as telt negatief mee voor de verplaatsing, maar niet voor de afgelegde weg.
Discrete en continue modellen
Bij discrete stappen gebruik je recursie, bijvoorbeeld u_n=u_(n-1)+a. Bij continue modellen werk je met functies en afgeleiden. De gemiddelde verandering over [a,b] is (f(b)-f(a))/(b-a); de momentane verandering is f'(a). Een toenamediagram met stijgende staven betekent dat de verandering zelf toeneemt, niet dat de waarde noodzakelijk positief is.
Uitgewerkt voorbeeld
Een voorwerp heeft snelheid v(t)=3t^2 m/s voor 0≤t≤4. De afgelegde afstand is de oppervlakte onder de grafiek: ∫0^4 3t^2 dt=[t^3]_0^4=64 m. De gemiddelde snelheid over deze periode is 64/4=16 m/s. De versnelling op t=2 is v'(2)=6t=12 m/s². Zo zie je dat de afgeleide van snelheid versnelling geeft en de integraal van snelheid afstand.
Valkuilen
- Δy per interval aanzien voor de totale waarde.
- Bij een toenamediagram de staafhoogte als y-waarde lezen.
- Geen onderscheid maken tussen verplaatsing en afgelegde weg.
- Eenheden niet meenemen bij differentiëren of integreren.