Affiche met witrand: kosten minimaliseren en afronden
Een drukkerij ontwerpt een affiche met een bedrukt gedeelte van precies 2,00 m². Rondom het bedrukte deel komt een witrand: links en rechts samen 40 cm, boven en onder samen 40 cm. De affiche wordt rechthoekig. De breedte van het bedrukte gedeelte noemt de ontwerper x (in meter). Het papier kost € 15,00 per m² en de metalen omlijsting langs de buitenrand kost € 25,00 per meter. De opdrachtgever wil de totale kosten zo laag mogelijk houden, maar eist wel dat de affiche minstens 90 cm breed wordt en niet breder dan 2,50 m. De ontwerper rekent eerst zonder die eisen en presenteert daarna een voorstel waarin de breedte op een veelvoud van 5 cm wordt afgerond, omdat de snijmachine niet fijner kan. De vraag is of dat afronden de kosten merkbaar verandert en of aan de eisen van de opdrachtgever wordt voldaan.
1. Stel een formule op voor de totale kosten C(x) en laat met differentiëren zien dat de kosten minimaal zijn bij x = √2. Geef ook het bijbehorende bedrag.
Read the worked answer
Stap 1 – afmetingen. Het bedrukte deel is x bij 2/x meter (breedte × hoogte). Met de witrand wordt de affiche (x + 0,4) bij (2/x + 0,4) meter.
Stap 2 – kosten opstellen.
- Papier: 15·(x + 0,4)·(2/x + 0,4).
- Omlijsting: omtrek = 2(x + 0,4) + 2(2/x + 0,4), keer € 25.
Uitwerken: (x + 0,4)(2/x + 0,4) = 2 + 0,4x + 0,8/x + 0,16 = 2,16 + 0,4x + 0,8/x, dus het papier kost 32,4 + 6x + 12/x. De omtrek is 2x + 4/x + 1,6, dus de omlijsting kost 50x + 100/x + 40.
C(x) = 72,4 + 56x + 112/x, met domein x > 0.
Stap 3 – differentiëren. C'(x) = 56 − 112/x². C'(x) = 0 geeft x² = 2, dus x = √2 (de negatieve wortel valt af). Verder is C''(x) = 224/x³ > 0 voor x > 0, dus er is een minimum. (Tekenoverzicht: C' < 0 links van √2, C' > 0 rechts ervan.)
Stap 4 – minimale kosten. C(√2) = 72,4 + 56√2 + 112/√2. Omdat 112/√2 = 56√2, is C(√2) = 72,4 + 112√2 ≈ 72,4 + 158,39 = € 230,79.
2. De snijmachine kan de breedte alleen in stappen van 5 cm aanpassen. Bereken de kosten bij x = 1,40 en bij x = 1,45 en geef een beargumenteerd advies.
Read the worked answer
Invullen in C(x) = 72,4 + 56x + 112/x:
- x = 1,40: 72,4 + 78,40 + 80,00 = € 230,80.
- x = 1,45: 72,4 + 81,20 + 77,24 = € 230,84.
- x = √2 ≈ 1,414: € 230,79.
Het verschil met het exacte minimum is dus hoogstens € 0,05 op ruim € 230, dat is minder dan 0,03%.
Advies. Afronden mag; kies x = 1,40 m, dat is zowel het goedkoopst als zuiniger met papier. De reden dat het zo weinig uitmaakt: rond het minimum is de grafiek bijna vlak (C'(√2) = 0), dus een kleine afwijking in x geeft een verwaarloosbare verandering in C. Laat bij de definitieve keuze dus andere argumenten meewegen, bijvoorbeeld standaardpapierformaten of snijverlies, in plaats van de kosten.
Algemene les. Bij een optimaliseringsopgave hoort altijd de vraag of het optimum praktisch uitvoerbaar is; een klein verlies aan nauwkeurigheid in de variabele betekent meestal een nog veel kleiner verlies in de doelfunctie.
3. De opdrachtgever eist dat de affiche (inclusief witrand) tussen 0,90 m en 2,50 m breed is. Laat zien dat deze eis het optimum niet verandert, en bereken wat er gebeurt als de eis 'minstens 2,00 m breed' zou luiden.
Read the worked answer
De totale breedte is x + 0,4, dus de eis betekent 0,90 ≤ x + 0,4 ≤ 2,50, ofwel 0,50 ≤ x ≤ 2,10. Het optimum x = √2 ≈ 1,41 ligt ruim binnen dit interval, dus de eis is niet bindend en de minimale kosten blijven € 230,79.
Strengere eis. Bij 'minstens 2,00 m breed' geldt x + 0,4 ≥ 2,00, dus x ≥ 1,60. Omdat C daalt op (0; √2) en 1,60 > √2, is C stijgend op [1,60; 2,10]. Het minimum ligt dan op de rand x = 1,60: C(1,60) = 72,4 + 89,60 + 70,00 = € 232,00. De eis kost dus ongeveer € 1,21 per affiche.
Wat je hier moet laten zien. Een randextremum vind je niet door C'(x) = 0 op te lossen; je moet eerst nagaan of het stationaire punt binnen het toegestane interval ligt en pas daarna de rand vergelijken. Hier is C'(1,60) = 56 − 112/2,56 ≈ 12,3 > 0, dus de kosten nemen daar inderdaad toe en het minimum zit precies op de grens.