VWO Wiskunde B flashcards

33 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Domein van een wortelfunctie

Voor f(x) = √(g(x)) moeten alle x voldoen aan g(x) ≥ 0. Los die ongelijkheid op met een tekenschema; het domein is de vereniging van de intervallen waar g niet-negatief is.

Horizontale asymptoot rationele functie

Bij f(x) = teller/noemer vergelijk je de graden. Kleinere graad teller geeft y = 0; gelijke graad geeft y = quotiënt van de leidende coëfficiënten; grotere graad teller geeft geen horizontale asymptoot.

Volgorde van transformaties

Bij y = a·f(b(x − c)) + d pas je eerst de verticale vermenigvuldiging a en horizontale vermenigvuldiging 1/b toe, daarna de verschuivingen: c naar rechts en d omhoog.

Kwadraat afsplitsen en top

ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Hieruit lees je de top af bij x = −b/(2a); de vorm is ook bruikbaar om nulpunten en extreme waarden te vinden.

Definitie van de afgeleide

f′(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)]/h. De waarde f′(a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in het punt met x = a.

Kettingregel

Voor een samengestelde functie geldt [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Bij e^(u(x)) wordt de afgeleide u′(x)·e^(u(x)); bij ln(u(x)) wordt het u′(x)/u(x).

Vergelijking van de raaklijn

De raaklijn aan y = f(x) in x = a is y = f(a) + f′(a)(x − a). De normaal in dat punt heeft richtingscoëfficiënt −1/f′(a), mits f′(a) niet nul is.

Tweedederivativetest bij extremen

Los f′(x) = 0 op. Als f″(x) < 0 in het punt is er een maximum, als f″(x) > 0 een minimum. Bij f″(x) = 0 geeft alleen het tekenverloop van f′ uitsluitsel.

Optimaliseren met nevenvoorwaarde

Druk de te optimaliseren grootheid uit in één variabele met de gegeven relatie, bepaal het geldige domein, differentieer, los afgeleide nul op en vergelijk met de randwaarden van het domein.

Exacte waarden eenheidscirkel

Bij 0, π/6, π/4, π/3, π/2 horen sin-waarden 0, ½, ½√2, ½√3, 1. De cosinus geeft dezelfde rij in omgekeerde volgorde; de tangens is het quotiënt daarvan.

Algemene oplossing van sin x = c

Met α = arcsin(c) zijn alle oplossingen x = α + 2kπ of x = π − α + 2kπ, met k geheel. Voor cos x = c geldt x = ±arccos(c) + 2kπ en voor tan x = c geldt x = arctan(c) + kπ.

Dubbele-hoekformules

sin 2x = 2 sin x cos x en cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1. Samen met sin²x + cos²x = 1 herleid je hiermee veel goniometrische vergelijkingen.

Amplitude, periode en fase

Voor f(x) = a sin(b(x − c)) + d is de amplitude |a|, de periode 2π/|b|, de evenwichtsstand d en c de faseverschuiving. Voor cos geldt hetzelfde, maar het startpunt ligt op een top.

Herschrijven a sin x + b cos x

Er geldt a sin x + b cos x = R sin(x + φ) met R = √(a² + b²) en tan φ = b/a, waarbij je het kwadrant van φ bepaalt uit de tekens van a en b.

Logaritme als inverse

g^log(a) = b betekent precies g^b = a, met g > 0, g ≠ 1 en a > 0. Daarom geldt g^(g^log a) = a voor a > 0 en g^log(g^b) = b voor elke b.

Verdubbelingstijd bij groeifactor g

Bij exponentiële groei N = b·g^t is de verdubbelingstijd T = ln 2 / ln g, mits g > 1. De halveringstijd bij verval is ln ½ / ln g, wat gelijk is aan ln 2 / ln(1/g).

Van grondtal wisselen

Voor positieve grondtallen geldt g^log a = p^log a / p^log g. Met het natuurlijke grondtal wordt dit g^log a = ln a / ln g, wat handig is bij oplossen en differentiëren.

Afgeleide van exponentiële functies

(e^x)′ = e^x en (a^x)′ = a^x·ln a. Verder is (ln x)′ = 1/x en (g^log x)′ = 1/(x ln g), wat met de kettingregel ook voor samengestelde argumenten geldt.

Hoofdstelling van de integraalrekening

Als F een primitieve is van f, dan is de bepaalde integraal van a tot b van f(x) dx gelijk aan F(b) − F(a). De waarde is de georiënteerde oppervlakte tussen grafiek en x-as.

Oppervlakte tussen twee grafieken

De oppervlakte tussen f en g op [a, b] is de integraal van |f(x) − g(x)| dx. Bepaal eerst de snijpunten en daarmee per deelinterval welke functie boven ligt.

Volume bij wentelen om de x-as

Voor het lichaam dat ontstaat door y = f(x) op [a, b] om de x-as te wentelen geldt V = π ∫ van a tot b (f(x))² dx. Wentelen om de y-as vraagt de inverse x = g(y).

Substitutieregel bij primitiveren

Kies u = g(x), dan is du = g′(x) dx en geldt ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)) + C. Zonder de factor g′(x) is de regel niet toepasbaar; herschrijf dan eerst.

Gemiddelde waarde van een functie

Het gemiddelde van f op [a, b] is (1/(b−a))·∫ van a tot b f(x) dx. Er bestaat dan een c in [a, b] met f(c) gelijk aan dat gemiddelde.

Vergelijking van een cirkel

Een cirkel met middelpunt (a, b) en straal r heeft vergelijking (x − a)² + (y − b)² = r². De vorm x² + y² + px + qy + s = 0 herleid je tot die standaardvorm met kwadraat afsplitsen.

Inproduct en loodrechte stand

Voor vectoren a en b geldt a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b|cos φ, met φ de ingesloten hoek. De vectoren staan loodrecht op elkaar precies wanneer a·b = 0.

Raaklijn aan een cirkel

De raaklijn in een punt P op een cirkel staat loodrecht op de straal naar P. Daarmee bepaal je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn uit het middelpunt en P.

Gelijkvormigheid en schaalfactoren

Bij gelijkvormige figuren met factor k zijn lengten k keer zo groot, oppervlakten k² keer en inhouden k³ keer. Gelijkvormigheid bewijs je met AA, SAS of SSS.

Bewijs uit het ongerijmde

Je neemt aan dat de bewering onwaar is en leidt met de gegevens een tegenspraak af. Omdat de aanname dan onmogelijk is, moet de oorspronkelijke bewering waar zijn.

Bewijs met volledige inductie

Eerst bewijs je de bewering voor n = 1. Daarna neem je aan dat zij waar is voor n = k en bewijs je met die aanname dat zij ook waar is voor n = k + 1.

Nodige en voldoende voorwaarde

A is voldoende voor B als A ⇒ B, dus A garandeert B. A is nodig voor B als B ⇒ A, dus zonder A kan B niet optreden. Beide samen geven een equivalentie.

Contrapositief bewijs

De bewering A ⇒ B is logisch gelijkwaardig met niet-B ⇒ niet-A. Soms is die omkering eenvoudiger te bewijzen, bijvoorbeeld bij eigenschappen van deelbaarheid of ongelijkheden.

Parameters van een sinusmodel

Bij y = A sin(B(t − C)) + D volgt de amplitude A uit (max − min)/2, de evenwichtsstand D uit (max + min)/2 en de periode 2π/B uit de tijd tussen twee opeenvolgende toppen.

Interpretatie van de afgeleide in context

De waarde f′(a) is de momentane veranderingssnelheid op x = a, met eenheid (eenheid van y) per (eenheid van x). Het teken geeft aan of de grootheid toeneemt of afneemt.