VWO Wiskunde B cheat sheet

Domein van f: alle x waarvoor f(x) bestaat; bij wortel g(x) eist g(x) ≥ 0, bij breuk 1/g(x) eist g(x) ≠ 0, bij log eist argument > 0.

Verticale asymptoot x = a als de noemer nul is en niet wegvalt tegen de teller; perforatie als de factor wegvalt.

Horizontale asymptoot y = L als lim(x→±∞) f(x) = L; bij rationale functies vergelijk graad teller n en noemer m: n < m geeft y = 0, n = m geeft y = leidende coëfficiënten, n > m geen HA (wel scheve asymptoot bij n = m+1).

Transformaties: y = a·f(b(x − c)) + d geeft verticale vermenigvuldiging a, horizontale vermenigvuldiging 1/b, verschuiving c naar rechts en d omhoog; volgorde: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven.

Even functie: f(−x) = f(x) (symmetrisch in y-as); oneven: f(−x) = −f(x) (puntsymmetrisch in oorsprong).

Vergelijking f(x) = g(x) oplossen: herleid tot h(x) = 0, ontbind of substitueer (bijv. u = x² of u = 2^x), controleer oplossingen in het domein.

Ongelijkheid f(x) > g(x): bepaal snijpunten en tekenschema; tekenwisseling alleen mogelijk bij nulpunten of perforaties, dus oplossing is een vereniging van intervallen.

Kwadraat afsplitsen: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a); top ligt bij x = −b/(2a).

Absolute waarde |x − a| = c met c > 0 geeft x = a + c of x = a − c; |A| = |B| geeft A = B of A = −B.

Afgeleide als limiet: f′(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)]/h; f′(a) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in x = a.

Rekenregels: (xⁿ)′ = n·x^(n−1); (e^x)′ = e^x; (ln x)′ = 1/x; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x.

Productregel (f·g)′ = f′·g + f·g′; quotiëntregel (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².

Kettingregel: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x); bij e^(u(x)) geeft dit u′(x)·e^(u(x)), bij ln(u(x)) geeft u′(x)/u(x).

Raaklijn in x = a: y = f(a) + f′(a)(x − a); normaal heeft richtingscoëfficiënt −1/f′(a) mits f′(a) ≠ 0.

Extremen: los f′(x) = 0 op; tekenverloop van f′ bepaalt max (plus naar min) of min (min naar plus); randpunten van het domein apart controleren.

Buigpunten: f″(x) = 0 én tekenwisseling van f″; f″ > 0 betekent convex (hol omhoog), f″ < 0 concaaf.

Optimaliseren in context: druk de te maximaliseren grootheid uit in één variabele met de gegeven nevenvoorwaarde, bepaal domein, differentieer en controleer randwaarden.

Snelheid is v(t) = s′(t) en versnelling a(t) = v′(t) = s″(t); eenheid van f′(a) is (eenheid y)/(eenheid x).

Eenheidscirkel: punt bij hoek α is (cos α, sin α); tangens is sin α / cos α, gedefinieerd als cos α ≠ 0.

Exacte waarden: sin en cos van 0, π/6, π/4, π/3, π/2 zijn 0, ½, ½√2, ½√3, 1 (cos in omgekeerde volgorde); tan(π/6) = ⅓√3, tan(π/4) = 1, tan(π/3) = √3.

Radiaal–graad: π rad = 180°, dus 1 rad = 180/π ≈ 57,3°; booglengte s = r·α en sectoroppervlak ½r²α bij hoek α in radialen.

Algemene oplossing: sin x = c geeft x = arcsin(c) + 2kπ of x = π − arcsin(c) + 2kπ; cos x = c geeft x = ±arccos(c) + 2kπ; tan x = c geeft x = arctan(c) + kπ.

Pythagoras-identiteit sin²x + cos²x = 1; dubbele hoek: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1.

Somformules: sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b; cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b.

f(x) = a sin(b(x − c)) + d heeft amplitude |a|, periode 2π/|b|, evenwichtsstand d en faseverschuiving c; bij cos hetzelfde met startpunt op de top.

Herschrijven a sin x + b cos x = R sin(x + φ) met R = √(a² + b²) en tan φ = b/a (let op het kwadrant).

Vergelijkingen met tan: controleer dat cos x ≠ 0; deel nooit zomaar door sin x of cos x zonder het geval = 0 apart te behandelen.

Rekenregels machten: a^p·a^q = a^(p+q), a^p/a^q = a^(p−q), (a^p)^q = a^(pq), a^0 = 1, a^(−p) = 1/a^p.

Logaritme als inverse: g^log(a) = b betekent g^b = a, met g > 0, g ≠ 1 en a > 0; dus g^(g^log a) = a en g^log(g^b) = b.

Logregels: log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(a^p) = p·log a; let op: log(a + b) is niet te splitsen.

Van grondtal wisselen: g^log a = p^log a / p^log g; in het bijzonder 2^log a = ln a / ln 2.

Exponentiële groei N(t) = b·g^t met groeifactor g per tijdseenheid; verdubbelingstijd T = ln 2 / ln g, halveringstijd T = ln ½ / ln g.

Groeipercentage p per periode geeft g = 1 + p/100; over n perioden is de factor g^n, dus het totale percentage is (g^n − 1)·100.

Vergelijking a^x = b oplossen: x = a^log b = ln b / ln a; vergelijking met verschillende grondtallen herleiden tot één grondtal of links en rechts logaritme nemen.

Afgeleide: (e^x)′ = e^x, (a^x)′ = a^x·ln a, (ln x)′ = 1/x, (g^log x)′ = 1/(x ln g).

Continue exponentiële groei N(t) = N₀·e^(kt): k > 0 groei, k < 0 verval; verdubbelingstijd = ln 2 / k bij groei.

Primitieven: ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C; ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C.

Hoofdstelling: als F′ = f, dan ∫ van a tot b f(x) dx = F(b) − F(a); de integraal is de georiënteerde oppervlakte (onder de x-as negatief).

Oppervlakte tussen grafieken: ∫ van a tot b |f(x) − g(x)| dx; bepaal snijpunten om de intervallen en de bovenliggende functie per interval vast te leggen.

Lineair: ∫(c·f + d·g) = c·∫f + d·∫g; maar ∫f·g ≠ ∫f · ∫g, dus producten eerst herschrijven of substitueren.

Substitutieregel: ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)) + C; kies u = g(x), dan du = g′(x) dx.

Volume omwentelingslichaam om de x-as: V = π ∫ van a tot b (f(x))² dx; om de y-as met inverse x = g(y): V = π ∫ (g(y))² dy.

Middelwaardestelling voor integralen: er bestaat een c in [a, b] met f(c) = (1/(b−a))·∫ van a tot b f(x) dx; dit is het gemiddelde van f op het interval.

Numeriek: benader met rechthoeken, trapeziumregel of Simpson; bij onbekende primitieve of experimentele data gebruik je een numerieke methode en vermeld je de stapgrootte.

Oneigenlijke integraal ∫ van a tot ∞ f(x) dx = lim(R→∞) ∫ van a tot R f(x) dx; convergent als de limiet eindig is.

Afstand tussen punten A en B: |AB| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²); midden M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2).

Lijn door A en B: richtingscoëfficiënt m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), vergelijking y − y_A = m(x − x_A); loodrecht betekent m₁·m₂ = −1.

Cirkel met middelpunt (a, b) en straal r: (x − a)² + (y − b)² = r²; algemene vorm x² + y² + px + qy + s = 0 herleid je met kwadraat afsplitsen.

Raaklijn aan cirkel in punt P staat loodrecht op de straal naar P; raaklijn aan grafiek y = f(x) in x = a: y = f(a) + f′(a)(x − a).

Hoeken: gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken; buitenhoek = som van de twee niet-aangrenzende binnenhoeken; hoekensom driehoek = 180°, vierhoek = 360°.

Gelijkvormigheid (AA, SAS, SSS) geeft evenredige zijden; bij vermenigvuldigingsfactor k worden lengten ×k, oppervlakten ×k² en inhouden ×k³.

Pythagoras: in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a, b en schuine zijde c geldt a² + b² = c²; omgekeerde stelling geldt ook.

Vectoren: inproduct a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b|cos φ; loodrecht als a·b = 0; |a| = √(a₁² + a₂²).

Projectie van a op b: (a·b / b·b)·b; afstand van punt tot lijn via loodrechte projectie of via de loodrechte lijn door het punt.

Direct bewijs: uit de gegevens via geldige stappen naar het gestelde; elk tussenresultaat volgt uit definitie, eerder bewezen stelling of gegeven.

Contrapositief: A ⇒ B is gelijkwaardig met niet-B ⇒ niet-A; handig als de directe weg vastloopt.

Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat de bewering onwaar is en leid een tegenspraak af met de gegevens; dan is de bewering waar.

Volledige inductie: bewijs de bewering voor n = 1 (basisstap) en bewijs dat uit waarheid voor n = k de waarheid voor n = k + 1 volgt (inductiestap).

Equivalentie A ⇔ B vereist twee richtingen: A ⇒ B en B ⇒ A; bewijs ze apart of via een keten van gelijkwaardige herschrijvingen.

Nodige versus voldoende voorwaarde: A is voldoende voor B als A ⇒ B; A is nodig voor B als niet-A ⇒ niet-B (dus B ⇒ A).

Omgekeerde stelling is niet automatisch waar: bewijs de omkering apart, bijvoorbeeld bij kwadrateren (x = y ⇒ x² = y², niet omgekeerd).

Meetkundig bewijs: gebruik definities, congruentie (ZZZ, ZHZ, HZH), gelijkvormigheid, hoekensom en middelloodlijn-/omtrekshoekstelling als gegeven stellingen.

Tegenvoorbeeld weerlegt een universele bewering; één tegenvoorbeeld is voldoende, maar voor een bewijs zijn alle gevallen nodig.

Modelopbouw: benoem variabelen met eenheden, formuleer aannames, kies een functietype (lineair, exponentieel, logaritmisch, sinus, polynoom) op grond van het groei- of verloopgedrag.

Lineair model y = ax + b: constante toename a per eenheid; exponentiëel model y = b·g^x: constante verhouding g per eenheid (verschil in logaritme is constant).

Sinusmodel y = A sin(B(t − C)) + D: amplitude A uit (max − min)/2, evenwichtsstand D uit (max + min)/2, periode 2π/B uit de tijdsduur tussen twee toppen.

Logaritmisch model y = a + b·log(x): afnemende groei; geschikt als elke verdubbeling van x een vaste toename van y geeft.

Interpoleren binnen het meetbereik is betrouwbaar; extrapoleren buiten het bereik is riskant en moet als aanname worden vermeld.

Residuen: y_waargenomen − y_model; een goed model heeft residuen zonder patroon en met gemiddelde ongeveer 0.

Interpretatie: f′(a) is de veranderingssnelheid op x = a met eenheid (eenheid y)/(eenheid x); ∫ van a tot b f(x) dx is de opgetelde hoeveelheid over [a, b].

Differentiaalvergelijking dy/dt = k·y heeft oplossing y = y₀·e^(kt); bij logistische groei dy/dt = k·y·(1 − y/M) nadert y naar de capaciteit M.

Controleer een model door voorspellingen te vergelijken met meetpunten en door het domein en de randgevallen expliciet te benoemen.