Getijmodel Zoutkamp: aanlegvensters, stijgsnelheid en fasefout
Het waterpeil in de haven van Zoutkamp wordt beschreven met het model h(t) = 1,90 + 1,60·sin(π(t−2)/6). Hierin is h de waterstand in meter boven NAP en t de tijd in uren na middernacht, met 0 ≤ t < 24. Het model gaat uit van een periode van precies 12,0 uur. Een veerboot met een diepgang van 2,60 m mag alleen aanleggen als h(t) ≥ 2,60. De kapitein wil per etmaal twee keer aanleggen: één keer in de ochtend en één keer in de middag, en hij wil weten hoe lang elk tijdslot duurt en hoe snel het water in het begin van een slot stijgt, omdat het in- en uitvaren tijd kost. De havenmeester vertrouwt het model niet helemaal: de werkelijke getijperiode is 12 uur en 25 minuten, en bij de laatste meting om 0:00 uur stond het water op 2,05 m in plaats van de 1,90 m uit het model.
1. Bereken de twee tijdvakken waarin de veerboot mag aanleggen en de totale aanlegtijd per etmaal.
Read the worked answer
Los op: 1,90 + 1,60·sin(π(t−2)/6) = 2,60, dus sin(π(t−2)/6) = 0,70/1,60 = 0,4375.
Hoeken. arcsin(0,4375) ≈ 0,4529 rad. De twee oplossingen per periode:
- π(t−2)/6 = 0,4529 geeft t − 2 = 0,4529·6/π ≈ 0,865, dus t ≈ 2,865.
- π(t−2)/6 = π − 0,4529 = 2,6887 geeft t − 2 ≈ 5,135, dus t ≈ 7,135.
Tweede tijdvak (12 uur later): t ≈ 14,865 en t ≈ 19,135.
Controle. h(4,5) = 1,90 + 1,60·sin(π·2,5/6) ≈ 1,90 + 1,545 ≈ 3,45 > 2,60, dus tussen de twee oplossingen zit inderdaad het stuk waarin het water hoog genoeg is.
Uitkomst. Aanleggen kan van 2:52 tot 7:08 uur en van 14:52 tot 19:08 uur. Elk tijdvak duurt 4,27 uur (ongeveer 4 uur 16 minuten), samen 8,54 uur ≈ 8 uur 32 minuten per etmaal. Omdat het model symmetrisch is rond de hoogste stand (om 5:00 en 17:00 uur), liggen de grenzen even ver aan weerszijden van die toppen.
2. Bereken h'(1) en leg uit wat dit getal voor de kapitein betekent.
Read the worked answer
Differentiëren: h'(t) = 1,60·(π/6)·cos(π(t−2)/6) = 0,8378·cos(π(t−2)/6).
Invullen: h'(1) = 0,8378·cos(−π/6) = 0,8378·0,8660 ≈ 0,73 m/uur.
Interpretatie. Om 1:00 uur stijgt het water met ongeveer 0,73 m per uur; het is dan nog 0,70 m onder de drempel van 2,60 m. Tegen dat tempo duurt het nog ongeveer een uur voordat de boot zou kunnen aanleggen, maar het tijdvak begint pas om 2:52 uur.
Wat de kapitein ermee kan. De stijgsnelheid bepaalt hoeveel speelruimte hij heeft: aan het begin van een tijdvak stijgt het water het snelst (h'(2,865) ≈ 0,75 m/uur), dus een schip dat te vroeg aankomt hoeft niet lang te wachten, maar een schip dat wacht tot het water precies op 2,60 m staat, heeft geen tijd meer om te manoeuvreren. Aan het eind van het tijdvak daalt het water met vrijwel dezelfde snelheid, dus te laat komen is even riskant. Let bij dit soort vragen op de eenheid: m/uur, niet m.
3. De havenmeester wil het model zo aanpassen dat h(0) = 2,05 klopt, door alleen de fase te verschuiven. Laat met een berekening zien hoe groot die verschuiving is, beredeneer wat er met de aanlegtijden gebeurt en beoordeel of deze reparatie verstandig is. Betrek ook het verschil tussen de modelperiode (12,0 uur) en de werkelijke periode (12 uur 25 minuten).
Read the worked answer
Fase. In het oorspronkelijke model is het argument bij t = 0 gelijk aan −π·2/6 ≈ −1,0472. Gevraagd: 1,60·sin(arg) = 0,15, dus sin(arg) = 0,09375, dus arg ≈ 0,0939 (of π − 0,0939 ≈ 3,0477). De extra fase is dus φ ≈ 0,0939 + 1,0472 = 1,1411 rad (of 4,0949 rad).
Verschuiving in tijd. Δt = 6φ/π ≈ 2,18 uur (of 7,82 uur). De hele grafiek schuift ruim twee uur naar links: de top komt van 5:00 naar ongeveer 2:49 uur en de tijdvakken worden ongeveer 0:41–4:59 en 12:41–16:59 uur.
Gevolg voor de duur. Omdat alleen de fase verandert en de periode gelijk blijft, houdt elk tijdvak dezelfde lengte van 4,27 uur; alleen de tijdstippen verschuiven. De totale aanlegtijd per etmaal blijft dus 8,54 uur.
Oordeel. Een verschuiving van meer dan twee uur is geen kleine correctie: de meting van 2,05 m om 0:00 uur is met het oorspronkelijke model nauwelijks te rijmen, dus je moet eerder twijfelen aan het model of aan de meting dan dit met een fasecorrectie wegpoetsen. Bovendien geldt met een periode van 12 uur en 25 minuten dat elk volgend getij 25 minuten later valt: na één etmaal loopt het model al bijna een uur achter, waardoor vooral het middagslot onbetrouwbaar wordt. Voor een dienstregeling is het model dus alleen bruikbaar na calibratie op meerdere dagen, niet na één fasecorrectie.