Vaas met sinusprofiel: volume, vulhoogte en een te grove schatting
Een glasontwerper maakt een vaas waarvan de binnenkant ontstaat door de grafiek van r(h) = 2,0 + 0,8·sin(πh/10) om de verticale as te wentelen. Hierin is h de hoogte boven de bodem in cm (0 ≤ h ≤ 10) en r de inwendige straal in cm. De wanddikte wordt verwaarloosd. De fabrikant wil twee dingen weten: het totale volume van de vaas in mL, en de hoogte waarbij er precies 150 mL in de vaas zit, zodat de vulmachine kan worden ingesteld. Die machine werkt in stappen van 2 mm. Een stagiair stelt voor om het volume te schatten met één cilinder: V ≈ π·(r(5))²·10, met de straal gemeten halverwege de vaas. Hij verwacht dat dit binnen 5% nauwkeurig is en wil daarom de integraal overslaan. De ontwerper twijfelt: de vaas is onderin smal en bovenin juist wijd, en de grafiek van r is geen rechte lijn.
1. Bereken het totale volume van de vaas exact met een integraal.
Read the worked answer
Bij wenteling om de verticale as is V = π·∫₀¹⁰ (r(h))² dh = π·∫₀¹⁰ (2,0 + 0,8·sin(πh/10))² dh.
Haakjes wegwerken. (2,0 + 0,8s)² = 4 + 3,2s + 0,64s², met s = sin(πh/10).
Primitiveren. Gebruik sin²a = ½ − ½cos(2a), dus sin²(πh/10) = ½ − ½cos(πh/5):
- ∫ 4 dh = 4h;
- ∫ 3,2·sin(πh/10) dh = −(32/π)·cos(πh/10);
- ∫ 0,64·sin²(πh/10) dh = 0,32h − (1,6/π)·sin(πh/5).
Grenzen 0 en 10 invullen. 4h geeft 40. De cosinusterm geeft −(32/π)·cos(π) + (32/π)·cos(0) = 64/π ≈ 20,37. De sinusterm geeft 0,32·10 − (1,6/π)·(sin 2π − sin 0) = 3,2. Samen: 40 + 20,37 + 3,2 = 63,57.
Dus V = 63,57π ≈ 199,7 cm³ ≈ 200 mL (ongeveer 0,20 L). Omdat 1 cm³ = 1 mL hoef je alleen de eenheid goed te benoemen; let wel op dat je niet vergeet de factor π buiten de integraal te houden.
2. Bepaal met een tabel en inklemmen bij welke hoogte er 150 mL in de vaas zit en geef de instelling van de vulmachine in mm.
Read the worked answer
Voor een gedeeltelijke vulling geldt V(h) = π·[4h + (32/π)(1 − cos(πh/10)) + 0,32h − (1,6/π)·sin(πh/5)], dus V(h)/π = 4,32h + (32/π)(1 − cos(πh/10)) − (1,6/π)·sin(πh/5).
Tabel (in mL):
- h = 7,0: V ≈ 147,3
- h = 7,1: V ≈ 149,5
- h = 7,2: V ≈ 151,7
Er is dus 150 mL bij h ≈ 7,12 cm. Het gaat hier om een vergelijking die niet exact met de hand op te lossen is; inklemmen met een tabel (of de grafische rekenmachine) is hier de aangewezen methode, en je moet je antwoord in de context afronden.
Instelling van de machine. De machine kent alleen stappen van 2 mm: 7,1 cm geeft 149,5 mL, dus 0,5 mL te weinig; 7,2 cm geeft 151,7 mL, dus 1,7 mL te veel. Wil de fabrikant garanderen dat er minstens 150 mL in de vaas zit, dan is 7,2 cm de juiste keuze. Het volumeverschil tussen twee stappen is hier ongeveer 2,2 mL, dus de resolutie van de machine bepaalt de nauwkeurigheid, niet de rekennauwkeurigheid.
3. Beoordeel de schatting van de stagiair met één cilinder en geef een betere numerieke aanpak.
Read the worked answer
Schatting. r(5) = 2,0 + 0,8·sin(π/2) = 2,8 cm, dus V ≈ π·2,8²·10 = π·78,4 ≈ 246,3 mL. Het exacte volume is 199,7 mL; de schatting is dus 46,6 mL (23%) te hoog en valt ver buiten de beloofde 5%.
Waarom het misgaat. De schatting vervangt de gemiddelde waarde van r² over de hele hoogte door de waarde in het midden. Hier is r(5) juist de maximale straal (de sinustop), terwijl het gemiddelde van r² over [0,10] gelijk is aan 63,57/10 = 6,36 tegen 7,84 in het midden. Omdat sin(πh/10) op [0,10] symmetrisch en bol is, overschat het middelpunt structureel. Een cilinder werkt alleen goed als de straal (bijna) constant is.
Betere aanpak. De regel van Simpson met drie punten: V ≈ (10/6)·(r(0)² + 4·r(5)² + r(10)²) = (5/3)·(4 + 31,36 + 4) = 65,6, dus V ≈ 206 mL. Dat is minder dan 3% fout, ruim binnen de eis. Les: bij een gekromd profiel heb je meer meetpunten nodig, en de nauwkeurigheid van een numerieke methode hangt af van hoe goed de vorm bij de methode past.