Drone langs een radarzone: koorde, raaklijnen en foutmarge
Boven een onderzoeksveld hangt op 5,0 km van de oorsprong O een radarinstallatie die een cirkelvormig gebied x² + y² ≤ 25 continu bewaakt; binnen die cirkel mag niet worden gevlogen. Een drone moet van het punt A(0, 6) naar het punt B(8, 0) en de vluchtleider stelt als eerste de rechte route voor met vergelijking 3x + 4y = 24. Hij wil weten of die route door het verboden gebied loopt en hoe lang het stuk is waarin de drone binnen de cirkel zit. Als de route niet mag, wil hij een rechte route door P(10, 0) die de bewaakte cirkel alleen raakt. Hij beseft dat er twee van zulke raaklijnen zijn en dat hij moet kiezen. In het veld ligt op (4, 6) een dorp waar de geluidsnorm voorschrijft dat de drone minstens 3,0 km van de dorpskern blijft. Ten slotte heeft de drone een positiefout van 120 m, wat betekent dat de werkelijke baan tot 120 m naast de geplande lijn kan liggen.
1. Laat zien dat de route 3x + 4y = 24 door het verboden gebied loopt en bereken de lengte van het stuk binnen de cirkel.
Read the worked answer
Afstand tot het middelpunt. d = |3·0 + 4·0 − 24| / √(3² + 4²) = 24/5 = 4,8 km. Omdat 4,8 < 5 snijdt de lijn de cirkel in twee punten, dus de route komt binnen de bewaakte zone.
Halve koorde. Met de stelling van Pythagoras in de driehoek middelpunt–voetpunt–snijpunt: ½k = √(5² − 4,8²) = √(25 − 23,04) = √1,96 = 1,4. De koorde is dus 2,8 km.
Controle met de snijpunten. Invullen van y = (24 − 3x)/4 in x² + y² = 25 geeft de punten (4; 3) en (1,76; 4,68). De afstand daartussen is √(2,24² + 1,68²) = √(5,0176 + 2,8224) = √7,84 = 2,8 km.
Interpretatie. De drone vliegt 2,8 km lang binnen de cirkel; dat is meer dan de helft van de afstand tussen A en B (10 km), dus de route is onbruikbaar. Merk op dat de koorde kleiner is dan de diameter (10 km) en groter dan 2·(5 − 4,8) = 0,4; de afstand 4,8 zit dicht bij de rand, waardoor de koorde veel groter is dan je op het eerste gezicht zou denken.
2. Bepaal de vergelijkingen van de twee raaklijnen door P(10, 0) aan de cirkel x² + y² = 25 en bereken de raakpunten.
Read the worked answer
Lijnen door P. Elke niet-verticale lijn door P is y = m(x − 10), ofwel mx − y − 10m = 0. (De verticale lijn x = 10 heeft afstand 10 tot O en is dus geen raaklijn.)
Raakvoorwaarde. De afstand van O tot de lijn is 5: |−10m| / √(m² + 1) = 5. Kwadrateren: 100m² = 25(m² + 1), dus 100m² = 25m² + 25, dus 75m² = 25 en m² = 1/3, dus m = ±1/√3 ≈ ±0,577.
Vergelijkingen. y = (x − 10)/√3 ⇔ x − √3·y = 10, en y = −(x − 10)/√3 ⇔ x + √3·y = 10.
Raakpunten. In een raakpunt T geldt OT ⊥ PT, dus (x_T, y_T)·(x_T − 10, y_T) = 0, ofwel x_T² + y_T² − 10x_T = 0. Met x_T² + y_T² = 25 volgt 25 = 10x_T, dus x_T = 2,5 en y_T = ±√(25 − 6,25) = ±(5√3)/2 ≈ ±4,33.
De raakpunten zijn (2,5; 4,33) en (2,5; −4,33). Er zijn precies twee raaklijnen: een punt buiten de cirkel heeft altijd twee raaklijnen, en de berekening met m² = 1/3 levert inderdaad twee waarden van m op.
3. Welke van de twee raaklijnen voldoet aan de geluidsnorm van 3,0 km tot het dorp op (4, 6)? En wat betekent de positiefout van 120 m voor de gekozen raaklijn?
Read the worked answer
Afstanden tot het dorp. Voor x + √3·y = 10: |4 + 6√3 − 10| / √(1 + 3) = (6√3 − 6)/2 = 3(√3 − 1) ≈ 2,20 km. Dat is minder dan 3,0 km, dus deze noordelijke raaklijn (raakpunt (2,5; 4,33)) is niet toegestaan.
Voor x − √3·y = 10: |4 − 6√3 − 10| / 2 = (6 + 6√3)/2 = 3(1 + √3) ≈ 8,20 km. Dat is ruim boven 3,0 km, dus de zuidelijke raaklijn (raakpunt (2,5; −4,33)) voldoet.
De foutmarge. Een raaklijn ligt op precies 5,00 km van O. Met een positiefout van 120 m kan de werkelijke baan dus binnen de cirkel komen; de raaklijn is niet veilig. De route moet op minstens 5,12 km van O blijven: |10m|/√(m² + 1) ≥ 5,12 geeft 100m² ≥ 26,2144(m² + 1), dus m² ≥ 0,3553 en |m| ≥ 0,596. De zuidelijke lijn moet dus iets steiler worden gemaakt (van 0,577 naar minstens 0,596); de afstand tot het dorp blijft dan ruim boven 3,0 km. Conclusie: de foutmarge dwingt een verschuiving naar buiten, en de geluidsnorm sluit alleen de noordelijke variant uit.