Exponentiële en logaritmische functies
Wat dit domein toetst
Hier draait alles om groei met een constante factor en om de inverse daarvan: de logaritme. Je modelleert met N = b·g^t, werkt met e-machten en ln, lost vergelijkingen exact op en redeneert over verdubbelings- en halveringstijd en asymptotisch gedrag.
Kernregels
- Rekenregels: log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(a^p) = p·log a, en ^g log a = ln a / ln g.
- Oplossen: 2^x = 5 geeft x = ²log 5 = ln 5/ln 2.
- Afgeleiden: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x voor x > 0, en (a^x)' = a^x·ln a.
- Exponentieel model N = b·g^t: b is de beginwaarde, g de groeifactor per tijdseenheid. Verdubbelingstijd volgt uit g^t = 2, dus t = log 2 / log g.
- De grafiek van y = a^x heeft de x-as als horizontale asymptoot; de grafiek van y = ln x heeft de y-as als verticale asymptoot en domein x > 0.
Uitgewerkt voorbeeld
Los op 3·2^(x−1) = 48. Deel door 3: 2^(x−1) = 16. Omdat 16 = 2⁴ volgt x − 1 = 4, dus x = 5. Met een groeifactor g = 1,08 per jaar is de verdubbelingstijd t = ln 2 / ln 1,08 ≈ 9,0 jaar: na ongeveer negen jaar is de hoeveelheid verdubbeld.
Valkuilen die punten kosten
- log(a + b) = log a + log b gebruiken; dat is onjuist.
- Vergeten dat ln x alleen bestaat voor x > 0, waardoor oplossingen ten onrechte worden toegelaten.
- Een exponentiële vergelijking alleen decimaal benaderen terwijl een exacte vorm met logaritme wordt gevraagd.
- g en de groeisnelheid per tijdseenheid door elkaar halen: bij 8% groei is g = 1,08, niet 0,08.