Integraalrekening
Wat dit domein toetst
Integreren is primitiveren plus interpreteren: oppervlakten onder grafieken, oppervlakten tussen twee grafieken en inhouden van omwentelingslichamen. Daarnaast moet je een integraal kunnen benaderen als geen primitieve te vinden is.
Kernregels
- Primitieven: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) voor n ≠ −1, ∫(1/x) dx = ln|x|, ∫e^x dx = e^x, ∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x.
- Lineaire substitutie: ∫f(ax + b) dx = (1/a)·F(ax + b) + c.
- Hoofdstelling: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) met F een primitieve van f.
- Oppervlakte onder de x-as levert een negatieve integraal; neem de absolute waarde of splits het interval.
- Oppervlakte tussen grafieken: ∫(boven − onder) dx, waarbij je bij snijpunten in stukken splitst.
- Inhoud van het omwentelingslichaam rond de x-as: I = π∫_a^b (f(x))² dx.
- Numeriek benaderen: verdeel het interval in deelintervallen en sommeer rechthoeken of trapezia; meer deelintervallen geven een betere benadering.
Uitgewerkt voorbeeld
Bereken ∫₀² (3x² − 2x) dx. Een primitieve is F(x) = x³ − x². Dan is F(2) − F(0) = (8 − 4) − 0 = 4. Wentelt de grafiek van f(x) = x op [0, 3] om de x-as, dan is de inhoud π∫₀³ x² dx = π·[x³/3]₀³ = 9π.
Valkuilen die punten kosten
- Vergeten dat er geen primitieve productregel bestaat: eerst haakjes wegwerken of herschrijven.
- De absolute waarde bij ln|x| weglaten terwijl het domein ook negatieve x toelaat.
- Bij inhoud het kwadraat of de factor π vergeten.
- Bij een oppervlakte tussen grafieken vergeten te controleren welke grafiek boven ligt.