Meetkunde
Wat dit domein toetst
Meetkunde combineert redeneren in figuren met rekenen in coördinaten. Je past stellingen toe over gelijkvormigheid, cirkels en raaklijnen, en je rekent met vectoren, inproduct, afstanden en cirkelvergelijkingen.
Kernregels
- Gelijkvormigheid: twee paren gelijke hoeken (hh) is voldoende; bij congruente driehoeken gebruik je ZZZ, ZHZ of HZH.
- Cirkel: een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt; een omtrekshoek is de helft van de bijbehorende middelpuntshoek; bij een koordenvierhoek zijn overstaande hoeken samen 180°.
- Cirkelvergelijking: (x − a)² + (y − b)² = r² met middelpunt (a, b) en straal r.
- Loodrechte stand: product van de richtingscoëfficiënten is −1, ofwel het inproduct van de richtingsvectoren is 0.
- Inproduct: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a|·|b|·cos φ, dus cos φ = (a·b)/(|a|·|b|).
- Afstand punt tot lijn ax + by + c = 0: |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
Uitgewerkt voorbeeld
De cirkel x² + y² = 25 heeft middelpunt (0, 0). In het punt (3, 4) op de cirkel wijst de straal in de richting (3, 4). De raaklijn staat daar loodrecht op, dus 3x + 4y = c. Invullen van (3, 4) geeft c = 25, dus de raaklijn is 3x + 4y = 25. Controle: het inproduct (3, 4)·(x − 3, y − 4) = 0 levert hetzelfde resultaat.
Valkuilen die punten kosten
- De raaklijn aan een cirkel opstellen met de richtingscoëfficiënt van de straal in plaats van de loodrechte.
- Bij het inproduct vergeten dat cos φ = 1 bij evenwijdige en tegengestelde vectoren hoort bij φ = 180°.
- Het middelpunt van een cirkel aflezen als (a, b) terwijl de vergelijking (x + a)² bevat, dus middelpunt (−a, b).
- Een ingrediënt van een bewijs (zoals een rechte hoek) aannemen zonder het te onderbouwen.