Bewijzen en redeneren
Wat dit domein toetst
Je moet een bewering overtuigend kunnen aantonen of juist weerleggen, met een correcte structuur: wat is gegeven, wat is te bewijzen, welke stelling of definitie gebruik je per stap. Zowel algebraïsche als meetkundige bewijzen komen voor, plus logisch redeneren over voorwaarden.
Kernregels
- Direct bewijs: werk van het gegeven naar de conclusie met stappen die elk te rechtvaardigen zijn.
- Tegenbewijs met één tegenvoorbeeld: één geval waarin de bewering faalt, weerlegt hem volledig.
- Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat de bewering onwaar is en leid een tegenspraak af.
- Equivalentie (P ⇔ Q) vereist twee richtingen: P ⇒ Q en Q ⇒ P.
- Nodige voorwaarde: Q is nodig voor P als P alleen kan gelden wanneer Q geldt. Voldoende voorwaarde: Q garandeert P.
- Algebraïsche hulpmiddelen: haakjes wegwerken, kwadraat afsplitsen, ontbinden in factoren, werken met n = 2k of n = 2k + 1.
- Meetkundig: verwijs expliciet naar congruentie, gelijkvormigheid, de stelling van Thales of cirkelstellingen.
Uitgewerkt voorbeeld
Bewering: voor elke reële x geldt x² − 6x + 10 > 0. Kwadraat afsplitsen geeft x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1. Omdat een kwadraat nooit negatief is, is (x − 3)² ≥ 0, dus (x − 3)² + 1 ≥ 1 > 0. Daarmee geldt de bewering voor alle x, en de gelijkheid wordt nooit bereikt.
Valkuilen die punten kosten
- Een bewering bewijzen met één voorbeeld in plaats van met een algemene redenering.
- Bij een equivalentie maar één richting bewijzen.
- De conclusie als tussenstap gebruiken (cirkelredenering).
- In een meetkundig bewijs een hoek of loodrechte stand aannemen zonder verwijzing naar het gegeven of een stelling.