Achtbaan met een knik
Een pretpark bouwt een nieuwe achtbaan. Het eerste deel van de baan loopt van x=0 tot x=6 meter en wordt beschreven door h₁(x)=0,5x². Op x=6 sluit een tweede deel aan: een bergparabool met top (10, 22). De ontwerper stelt h₂(x)=a(x−10)²+22 voor 6≤x≤14. De baan moet bij x=6 zonder sprong overgaan in het eerste deel; de parkleiding eist bovendien dat de overgang vloeiend is, dat wil zeggen dat de helling links en rechts op x=6 gelijk is. Boven de baan hangt op hoogte 20 meter een onderhoudsplatform. De veiligheidsdienst vraagt zich af of de baan dat platform raakt. Ook wil men weten waar de baan het steilst is, omdat daar extra bevestiging nodig is. Alle afstanden zijn in meters; de helling is de afgeleide van de hoogte.
1. Bepaal a zodat de baan bij x=6 continu is. Onderzoek daarna met de afgeleiden of de overgang ook vloeiend is. Concludeer of de baan aan de eis van de parkleiding voldoet.
Read the worked answer
Voor continuïteit moet h₁(6)=h₂(6) gelden. Invullen geeft h₁(6)=0,5·6²=18 en h₂(6)=a(6−10)²+22=16a+22. Dus 16a+22=18, waaruit a=−1/4.
De hellingen: h₁'(x)=x, dus h₁'(6)=6. Verder is h₂'(x)=2a(x−10)=−0,5(x−10), dus h₂'(6)=−0,5·(−4)=2. Omdat 6≠2 is de overgang niet vloeiend: er zit een knik. De baan is wel continu, maar voldoet niet aan de eis van gelijke hellingen.
Ter controle: voor een vloeiende overgang met dezelfde top zou 2a(6−10)=6 moeten gelden, dus a=−0,75; dan zou de top op hoogte 30 liggen.
2. Onderzoek of de baan het onderhoudsplatform op hoogte 20 meter raakt. Geef de bijbehorende x-coördinaten en leg uit op welk baanstuk je kijkt.
Read the worked answer
Op het eerste stuk geldt h₁(x)=0,5x². Voor 0≤x≤6 is de maximale hoogte h₁(6)=18<20, dus daar komt de baan niet bij het platform.
Op het tweede stuk lossen we op: −0,25(x−10)²+22=20. Dan is (x−10)²=8, dus x=10−2√2≈7,17 of x=10+2√2≈12,83. Beide waarden liggen tussen 6 en 14, dus de baan doorsnijdt het platform op ongeveer x=7,17 m en x=12,83 m. De baan raakt het platform dus niet alleen, maar steekt er op dat traject bovenuit; de top is 22 m.
3. Bereken waar de helling op het tweede deel gelijk is aan 1. Geef ook de maximale helling op dat deel en de plaats waar die optreedt.
Read the worked answer
Er geldt h₂'(x)=−0,5(x−10). Stel −0,5(x−10)=1. Dan x−10=−2, dus x=8. Daar is de helling 1, dat wil zeggen een stijging van 1 meter per meter (45°).
Op het interval [6,14] is h₂' een dalende lineaire functie. De grootste waarde treedt dus op bij x=6: h₂'(6)=2. De helling is daar 2. Aan de andere kant, bij x=14, is h₂'(14)=−2; de baan daalt daar met helling 2. De maximale absolute helling op het tweede deel is dus 2, bij de randen x=6 en x=14.