HAVO Wiskunde D flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Wat is een stijgende functie?

Een functie f is stijgend op een interval als voor elk tweetal a < b in dat interval geldt dat f(a) ≤ f(b). Bij strikt stijgend geldt f(a) < f(b).

Top van een parabool

Voor y = a(x − p)² + q is de top het punt (p, q) en de symmetrieas de lijn x = p. Het teken van a bepaalt of de parabool dal of berg is.

Horizontale asymptoot

Bij een rationale functie y = (ax + b)/(cx + d) met c ≠ 0 is de horizontale asymptoot y = a/c; de verticale asymptoot is x = −d/c.

Wat is de inverse functie?

De inverse f⁻¹ keert het verband om: f⁻¹(y) = x precies als f(x) = y. Hij bestaat op een interval waarop f strikt monotoon is, en de grafiek is de spiegeling in y = x.

Definitie van de afgeleide

De afgeleide is f′(x) = lim(h→0) van [f(x + h) − f(x)]/h. De waarde f′(a) is de helling van de raaklijn aan de grafiek in x = a.

Kettingregel

Voor een samengestelde functie f(g(x)) geldt als afgeleide f′(g(x))·g′(x). Differentieer dus eerst de buitenste functie en vermenigvuldig met de afgeleide van de binnenste.

Vergelijking van de raaklijn

De raaklijn aan de grafiek van f in het punt x = a is y = f(a) + f′(a)·(x − a). De richtingscoëfficiënt is dus de afgeleide in dat punt.

Voorwaarde voor een extremum

In een inwendig extremum geldt f′(x) = 0. Een tekenwisseling van f′ van positief naar negatief geeft een maximum, van negatief naar positief een minimum.

Wat betekent f″ > 0?

Als de tweede afgeleide positief is, is de grafiek convex ofwel hol omhoog: de helling neemt toe. Een buigpunt vereist f″ = 0 met tekenwisseling van f″.

Hoofdstelling van de calculus

Als F een primitieve is van f, dus F′ = f, dan geldt ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Dit verbindt bepaalde integralen met primitieven.

Inhoud bij wentelen om x-as

Wordt de grafiek van f tussen x = a en x = b gewenteld om de x-as, dan is de inhoud van het omwentelingslichaam V = π · ∫ₐᵇ (f(x))² dx.

Voorwaardelijke kans

De voorwaardelijke kans op A gegeven B is P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), mits P(B) > 0. Dit herschaalt de kansruimte tot gebeurtenis B.

Onafhankelijke gebeurtenissen

Twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk precies als P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Equivalent geldt dan P(A | B) = P(A), mits P(B) > 0.

Binomiale verdeling

Bij n onafhankelijke herhalingen met slaagkans p geldt P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n−k). Het verwachte aantal successen is np.

Standaardiseren bij normale verdeling

Voor een normaal verdeelde variabele met gemiddelde μ en standaardafwijking σ bereken je z = (x − μ)/σ. Daarna gebruik je de standaardnormale tabel voor Φ(z).

Betekenis van correlatiecoëfficiënt r

r ligt tussen −1 en 1 en meet de sterkte van het lineaire verband. r dicht bij 1 of −1 betekent een sterk lineair verband; r = 0 betekent geen lineair verband.

Interkwartielafstand

De interkwartielafstand is IQR = Q₃ − Q₁, het verschil tussen het derde en eerste kwartiel. Deze bevat de middelste vijftig procent van de geordende waarnemingen.

Regressielijn

De kleinste-kwadratenlijn y = ax + b heeft richtingscoëfficiënt a = r · s_y/s_x en gaat altijd door het punt met coördinaten (x̄, ȳ).

Inproduct van vectoren

Het inproduct is a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos φ, met φ de hoek tussen beide vectoren. Twee vectoren staan loodrecht precies als a·b = 0.

Afstand punt tot vlak

Voor een vlak met normaalvector n en een punt Q in het vlak is de afstand van punt P tot dat vlak gelijk aan |n·(P − Q)| gedeeld door |n|.

Hoek tussen lijn en vlak

Met richtingsvector r van de lijn en normaalvector n van het vlak geldt sin φ = |n·r|/(|n||r|). De hoek tussen twee lijnen gebruikt juist de cosinus.

Cosinusregel

In een driehoek met zijden a, b, c en de hoek γ tegenover zijde c geldt c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Dit generaliseert de stelling van Pythagoras.

Vergelijking van een cirkel

Een cirkel met middelpunt M en straal r bestaat uit alle punten P met |P − M| = r. De raaklijn in een punt van de cirkel staat loodrecht op de straal naar dat punt.

Combinatie versus permutatie

Het aantal rangschikkingen van k uit n is n!/(n − k)!, waarbij volgorde telt. Het aantal deelverzamelingen van k uit n is C(n, k), waarbij volgorde niet telt.

Driehoek van Pascal

De binomiaalcoëfficiënten voldoen aan C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Elke rij ontstaat door naastliggende getallen van de vorige rij op te tellen.

Eulerroute in een graaf

Een samenhangende graaf heeft een Eulerroute die elke kant precies één keer gebruikt precies als er nul of twee knopen met oneven graad zijn.

Eigenschappen van een boom

Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels. Op n knopen heeft hij precies n − 1 kanten, en elk tweetal knopen is door precies één pad verbonden.

Werkwijze van Dijkstra

Dijkstra's algoritme bepaalt kortste paden vanaf een startknoop met niet-negatieve gewichten. Het maakt telkens de knoop met de kleinste voorlopige afstand definitief.

Logistisch groeimodel

N(t) = K/(1 + c·e^(−rt)) beschrijft begrensde groei met draagkracht K en groeisnelheid r. De grafiek is een S-curve met buigpunt bij N = K/2.

Evenwichtswaarde van een differentievergelijking

Voor u(n+1) = a·u(n) + b is de evenwichtswaarde u* = b/(1 − a), mits a ≠ 1. Dit evenwicht is stabiel als |a| < 1.

Bewijs uit het ongerijmde

Bij een bewijs uit het ongerijmde neem je de ontkenning van de bewering aan en leid je daaruit een tegenspraak af. Daarmee is de oorspronkelijke bewering bewezen.

Volledige inductie

Bewijs eerst de basisstap voor de kleinste waarde van n. Bewijs daarna de inductiestap: als de uitspraak geldt voor n, dan geldt hij ook voor n + 1.