HAVO Wiskunde D cheat sheet

Voor een functie f geldt: f is stijgend op een interval als voor alle a < b in dat interval geldt f(a) ≤ f(b); strikt stijgend als f(a) < f(b).

De grafiek van y = a(x − p)² + q is een parabool met top (p, q); de symmetrieas is x = p en de richting hangt af van het teken van a.

Transformaties: y = a·f(b(x − c)) + d geeft achtereenvolgens verticale vermenigvuldiging met a, horizontale met 1/b, verschuiving c naar rechts en d omhoog.

Asymptoten: bij y = (ax + b)/(cx + d) is de verticale asymptoot x = −d/c en de horizontale y = a/c (mits c ≠ 0).

Domein van f(x) = √(g(x)): alle x met g(x) ≥ 0; domein van log(g(x)): alle x met g(x) > 0.

Exponentiële groei: N(t) = b·g^t met groeifactor g per tijdseenheid; g > 1 is groei, 0 < g < 1 is verval, en de verdubbelingstijd volgt uit g^T = 2.

Inverse functie: f heeft een inverse op een interval als f daar strikt monotoon is; de grafiek van f⁻¹ is de spiegeling van die van f in de lijn y = x.

Los ongelijkheden grafisch op door snijpunten te bepalen en per interval het teken van f(x) − g(x) te controleren.

Afgeleide als limiet: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)]/h; f′(a) is de helling van de raaklijn in x = a.

Standaardafgeleiden: (xⁿ)′ = n·x^(n−1), (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x.

Productregel (f·g)′ = f′·g + f·g′; quotiëntregel (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g²; kettingregel [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x).

Raaklijn in x = a: y = f(a) + f′(a)·(x − a).

Extremen: los f′(x) = 0 op; tekenwisseling van f′ van + naar − geeft een maximum, van − naar + een minimum.

Buigpunten: f″(x) = 0 met tekenwisseling van f″; f″ > 0 betekent convex (hol omhoog).

Integraal als oppervlakte: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen grafiek en x-as; oppervlakte tussen twee grafieken is ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.

Hoofdstelling: als F′ = f dan is ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); substitutie en partieel integreren keren de ketting- respectievelijk productregel om.

Inhoud om de x-as: V = π∫ₐᵇ (f(x))² dx.

Complementregel: P(Aᶜ) = 1 − P(A); somregel P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Voorwaardelijke kans: P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B); A en B zijn onafhankelijk precies als P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

Binomiale verdeling: P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n−k), met E(X) = np en Var(X) = np(1 − p).

Normale verdeling: standaardiseer met z = (x − μ)/σ en gebruik de standaardnormale tabel; P(X ≤ x) = Φ(z).

Centrale limietstelling: de som of het gemiddelde van veel onafhankelijke gelijkverdeelde variabelen is bij benadering normaal verdeeld.

Mediaan en kwartielen: mediaan is het middelste waarnemingsgetal na ordenen; de interkwartielafstand IQR = Q₃ − Q₁ bevat de middelste 50% van de data.

Correlatiecoëfficiënt r ligt tussen −1 en 1; r meet alleen lineair verband en verandert niet bij toepassing van een lineaire transformatie op één variabele.

Regressielijn y = ax + b met a = r·s_y/s_x; de lijn gaat door het punt (x̄, ȳ).

Inproduct: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos φ; a en b staan loodrecht precies als a·b = 0.

Lengte |a| = √(a·a); eenheidsvector langs a is a/|a|; projectie van a op b is ((a·b)/(b·b))·b.

Afstand van punt P tot lijn of vlak: gebruik de normaalvector n en de formule |n·(P − Q)|/|n| met Q een punt op de lijn of in het vlak.

Kruisproduct a × b staat loodrecht op a en b en levert een normaalvector van een vlak door drie punten.

Hoek tussen twee lijnen: cos φ = |a·b|/(|a||b|); hoek tussen lijn en vlak: sin φ = |n·r|/(|n||r|).

Cirkel met middelpunt M en straal r: alle punten P met |P − M| = r; raaklijn in P staat loodrecht op de straal MP.

Cosinusregel: c² = a² + b² − 2ab·cos γ; sinusregel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ.

Oppervlakte driehoek = ½·|a × b| in de ruimte, met a en b twee zijdevectoren vanuit hetzelfde hoekpunt.

Permutaties en combinaties: het aantal rangschikkingen van k uit n is n!/(n − k)!; het aantal deelverzamelingen van k uit n is C(n, k) = n!/(k!(n − k)!).

Binomium van Newton: (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·a^(n−k)·b^k; de binomiaalcoëfficiënten staan in de driehoek van Pascal met C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k).

Vermenigvuldigingsregel bij opeenvolgende keuzes; somregel bij elkaar uitsluitende gevallen; corrigeer dubbeltellingen met inclusie-exclusie.

Een graaf bestaat uit knopen en kanten; de graad van een knoop is het aantal kanten eraan. De som van alle graden is 2 × het aantal kanten.

Eulerroute: een samenhangende graaf heeft een Eulerroute precies als er 0 of 2 knopen met oneven graad zijn; een Eulercircuit vereist dat alle graden even zijn.

Een boom op n knopen heeft precies n − 1 kanten en bevat geen cykels; elk tweetal knopen is door precies één pad verbonden.

Dijkstra's algoritme vindt kortste paden met niet-negatieve gewichten door telkens de knoop met de kleinste voorlopige afstand definitief te maken.

Recurrente betrekkingen: een lineaire recurrente betrekking van de vorm u(n) = a·u(n−1) + b heeft als oplossing een verschoven meetkundige rij, te vinden via een vast punt.

Modelopbouw: kies variabelen met eenheden, formuleer aannames, stel vergelijkingen op, reken door en controleer de uitkomst op plausibiliteit en dimensies.

Lineair model: y = ax + b met constante absolute verandering; exponentieel model: y = b·g^t met constante relatieve verandering per tijdseenheid.

Logistisch model: N(t) = K/(1 + c·e^(−rt)); K is de draagkracht, r de groeisnelheid en de grafiek is een S-curve met buigpunt op N = K/2.

Bij differentievergelijkingen van de vorm u(n+1) = a·u(n) + b: evenwichtswaarde u* = b/(1 − a), stabiel als |a| < 1.

Eenheid en dimensieanalyse: alleen grootheden met dezelfde eenheid mogen worden opgeteld of vergeleken; controleer de eenheid van elke tussenstap.

Bij het oplossen van een modelvergelijking: isoleer de onbekende stap voor stap en noteer bij elke stap welke bewerking op beide leden is toegepast.

Grafisch-numeriek werken: snijpunt, maximum of nulpunt bepalen met de rekenmachine en het resultaat interpreteren in de context van het probleem.

Gevoeligheidsanalyse: varieer een parameter en beschrijf hoe de uitkomst verandert; dit toont hoe robuust het model is.

Bewijsstructuur: uitgangspunten (definities en gegeven) → logische stappen → conclusie; elke stap moet volgen uit een definitie, eerder resultaat of gegeven.

Direct bewijs, bewijs uit het ongerijmde (neem de ontkenning aan en leid een tegenspraak af) en inductie zijn de drie standaardvormen.

Volledige inductie: bewijs de basisstap voor n = 1 (of de kleinste waarde) en de inductiestap dat de uitspraak voor n + 1 volgt uit de uitspraak voor n.

Tegenvoorbeeld: één geval waarin de bewering niet geldt, weerlegt de bewering volledig; een voorbeeld bewijst een bewering nooit algemeen.

Nodige versus voldoende voorwaarde: 'als P dan Q' betekent dat P voldoende is voor Q en Q noodzakelijk is voor P; de omkering is niet automatisch waar.

Onderzoekscyclus: onderzoeksvraag, hypothese, dataverzameling, analyse, conclusie en reflectie op aannames en beperkingen.

Bij een praktische opdracht: documenteer gekozen parameters en aannames, vermeld de nauwkeurigheid van uitkomsten en controleer met een onafhankelijke methode.

Formuleer een conclusie in termen van het oorspronkelijke probleem, niet alleen als getal, en benoem de beperkingen van het gebruikte model.