Bufferbekken bij een storm
Bij een fabriek loopt regenwater via een leiding in een bufferbekken. Tijdens een storm wordt de instroom gedurende de eerste 10 uur beschreven door I(t)=−0,25t³+3t² kubieke meter per uur, met 0≤t≤10. Het bekken is leeg op t=0 en heeft een nuttige inhoud van 200 m³. Zodra het bekken vol is, slaat een overstort aan en stroomt het teveel weg. Vanaf t=4 uur zet de fabriek een pomp aan die continu 25 m³ per uur uit het bekken pompt. De bedrijfsleider beweert dat het bekken door de pomp nooit zal overstromen. De technische dienst betwijfelt dat en wil weten op welk tijdstip de inhoud maximaal is en of de overstort in werking treedt. Ook wil men de maximale instroomsnelheid weten om de leiding te dimensioneren.
1. Bereken de maximale instroomsnelheid en het tijdstip waarop die optreedt. Laat zien dat het echt een maximum is.
Read the worked answer
Er geldt I(t)=−0,25t³+3t². Differentiëren geeft I'(t)=−0,75t²+6t=−0,75t(t−8). De nulpunten zijn t=0 en t=8. Op (0,8) is I'>0 en op (8,10) is I'<0, dus bij t=8 is er een maximum.
Invullen: I(8)=−0,25·512+3·64=−128+192=64. De maximale instroomsnelheid is dus 64 m³ per uur, na 8 uur.
2. Bereken de totale hoeveelheid water die in de eerste 10 uur binnenkomt.
Read the worked answer
De totale hoeveelheid is de integraal van de instroomsnelheid:
∫₀¹⁰ (−0,25t³+3t²) dt = [−0,0625t⁴+t³]₀¹⁰.
Invullen geeft −0,0625·10.000+1.000=−625+1.000=375. Er komt dus 375 m³ water binnen in de eerste 10 uur.
3. Het bekken heeft een nuttige inhoud van 200 m³. Bepaal met de pomp vanaf t=4 of het bekken overstroomt en zo ja, wanneer. Licht je aanpak toe.
Read the worked answer
Voor 0≤t≤4 geldt V(t)=∫₀ᵗ I(s)ds=F(t) met F(t)=−0,0625t⁴+t³. Dus V(4)=−0,0625·256+64=48 m³. Vanaf t=4 wordt er 25 m³ per uur uitgepompt. Voor t≥4 is
V(t)=48+∫₄ᵗ I(s)ds−25(t−4)=F(t)−25(t−4), omdat F(4)=48.
Het bekken stroomt over als V(t)=200. Omdat I(t)>25 voor alle t in [4,10] (I(4)=32 en I blijft boven 25), blijft V stijgen. Invullen: V(9)=F(9)−125. Verder is F(9)=−0,0625·6561+729≈318,94, dus V(9)≈193,94 m³. Ook is V(10)=375−150=225 m³. Dus tussen t=9 en t=10 wordt 200 m³ bereikt. Numeriek: V(9,17)≈200, dus na ongeveer 9,2 uur. Daarna blijft de inhoud door de overstort op 200 m³; het overschot stroomt weg.