Kabelbaan langs een controletoren
Een kabelbaan loopt rechtlijnig van station A(0, 0, 20) naar station B(60, 40, 26). Alle coördinaten zijn in meters; de z-as wijst verticaal omhoog. Naast de baan staat een controletoren. De voet van de toren is P(20, 15, 0) en de bovenkant is T(20, 15, 18). De kabel mag nergens dichter dan 3 meter bij de bovenkant van de toren komen. Een onderhoudsmonteur wil ook weten welk punt van de kabel het dichtst bij T ligt en op welke hoogte dat punt zich bevindt, zodat hij kan beoordelen of hij vanaf de toren bij de kabel kan komen. Ten slotte vraagt de veiligheidscommissie naar de hoek die de kabel met het horizontale vlak maakt; bij een te grote hoek zijn extra spanningen te verwachten. De kabel wordt als een rechte lijn beschouwd.
1. Bereken de kortste afstand van de bovenkant T van de toren tot de kabel AB. Controleer of de kabel aan de eis van 3 meter voldoet.
Read the worked answer
Gebruik de projectie van AT op AB. A=(0,0,20), B=(60,40,26), T=(20,15,18). Dan is AB=(60,40,6) en AT=(20,15,−2).
Inwendig product: AT·AB=20·60+15·40+(−2)·6=1200+600−12=1788. Verder is |AB|²=60²+40²+6²=3600+1600+36=5236 en |AT|²=20²+15²+(−2)²=400+225+4=629.
De kortste afstand d voldoet aan d²=|AT|²−(AT·AB)²/|AB|²=629−1788²/5236. Omdat 1788²=3.196.944, is 1788²/5236≈610,57. Dus d²≈18,43 en d≈4,29 m. De afstand is ongeveer 4,3 m, dus groter dan 3 m. De kabel voldoet aan de eis.
2. Bepaal het punt op de kabel dat het dichtst bij T ligt en bereken de hoogte van dat punt. Wat betekent dit voor de bereikbaarheid vanaf de toren?
Read the worked answer
De projectie van T op de lijn AB is A+t·AB met t=(AT·AB)/|AB|²=1788/5236≈0,3415. Het voetpunt is dus
(0,0,20)+0,3415·(60,40,6)≈(20,49; 13,66; 22,05).
De hoogte is ongeveer 22,1 m. De bovenkant van de toren ligt op 18 m, dus de kabel ligt op het dichtstbijzijnde punt ruim 4 m hoger dan de toren. De afstand van 4,3 m is dus vooral een hoogteverschil; vanaf de toren is de kabel niet zonder hulpmiddel te bereiken.
3. Bereken de hoek die de kabel met het horizontale vlak maakt.
Read the worked answer
De richtingsvector van de kabel is AB=(60,40,6). De horizontale component heeft lengte √(60²+40²)=√5200≈72,11. De verticale component is 6. De hoek α met het horizontale vlak voldoet aan tan α=6/72,11≈0,0832. Dus α≈4,76°.
De kabel loopt dus bijna horizontaal; de helling is ongeveer 4,8°.