Differentiëren en integreren
Differentiëren en integreren toetst het werken met afgeleiden en primitieven in algebraïsche en toegepaste situaties. Je moet regels combineren, extremen en buigpunten onderbouwen, oppervlakten berekenen en uitkomsten interpreteren.
Kernregels
- Afgeleiden: (x^n)'=nx^{n−1}, (e^x)'=e^x, (ln x)'=1/x, (sin x)'=cos x.
- Productregel (fg)'=f'g+fg'; quotiëntregel; kettingregel f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x).
- Extrema: f'(x)=0 en tekenverandering van f'; een buigpunt hoort bij tekenverandering van f''.
- Primitiveren: ∫x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C (n≠−1), ∫1/x dx=ln|x|+C.
- Bepaalde integraal: oppervlakte onder de grafiek; tussen grafieken neem je boven min onder.
Uitgewerkt voorbeeld
f(x)=x²e^x. Met de productregel: f'(x)=2xe^x+x²e^x=x e^x(2+x). Stationaire punten: x=0 of x=−2. Tekenonderzoek: voor x<−2 is f'>0, tussen −2 en 0 is f'<0, voor x>0 is f'>0. Dus maximum bij x=−2 en minimum bij x=0. f(−2)=4e^{−2}≈0,54; f(0)=0. Differentieer nogmaals voor buigpunten: f''=e^x(x²+4x+2), nul bij x=−2±√2.
Valkuilen
- Bij de kettingregel de afgeleide van de binnenfunctie vergeten.
- De integratieconstante C weglaten bij onbepaald primitiveren.
- Een negatieve integraal als oppervlakte rapporteren; neem de absolute waarde of split het interval.
- f'(x)=0 aanroepen als bewijs voor een extremum zonder tekenonderzoek.