Meetkunde en vectoren
Meetkunde en vectoren toetst ruimtelijk en analytisch redeneren met vectoren, lijnen, vlakken en cirkels. Je moet lengtes, inproducten, hoeken en afstanden berekenen en meetkundige eigenschappen met algebra bewijzen.
Kernregels
- Vector a=(a1,a2,a3); lengte |a|=√(a1²+a2²+a3²).
- Inproduct a·b=a1b1+a2b2+a3b3; a·b=|a||b|cos θ.
- Loodrecht: a·b=0. Hoek: cos θ=(a·b)/(|a||b|).
- Lijn: (x,y,z)=(p,q,r)+t(a,b,c), met richtingsvector (a,b,c).
- Vlak: ax+by+cz=d, met normaalvector (a,b,c).
- Afstand punt tot lijn via projectie of een loodvlak; cirkel: (x−a)²+(y−b)²=r².
Uitgewerkt voorbeeld
Gegeven a=(2,−1,3) en b=(1,4,−2). Dan a·b=2·1+(−1)·4+3·(−2)=2−4−6=−8. |a|=√(4+1+9)=√14 en |b|=√(1+16+4)=√21. Dus cos θ=−8/√294≈−0,467. Met de GR geeft dat θ≈118°. Omdat de cosinus negatief is, is de hoek stomp; dat klopt met het teken van het inproduct. De vectoren staan niet loodrecht, want het inproduct is niet nul.
Valkuilen
- Bij een lijn de richtingsvector en de normaalvector verwisselen.
- De hoek tussen vectoren verwarren met de hoek tussen een lijn en een vlak.
- Bij afstanden een negatieve uitkomst laten staan; afstand is niet negatief.
- De GR in graden of radialen verkeerd instellen.
- Een punt op een lijn controleren door alleen de x-coördinaat in te vullen.