Wiskundige modellen en toepassingen
Wiskundige modellen en toepassingen toetst het vertalen van een praktijksituatie naar wiskunde, het oplossen van het model en het beoordelen van de uitkomst. Je werkt met lineair programmeren, groeimodellen, differentiaalvergelijkingen en gevoeligheidsanalyse.
Kernregels
- Model: definieer variabelen met eenheden en noteer aannames en beperkingen.
- Lineair programmeren: maximaliseer of minimaliseer een doelfunctie onder lineaire beperkingen; het optimum ligt in een hoekpunt van het toegelaten gebied.
- Exponentieel: y=b·g^t met groeifactor g; logistisch: y=M/(1+ae^{−kt}) met grenswaarde M.
- Differentiaalvergelijking: dy/dt=k·y geeft exponentiële groei; dy/dt=k·y(M−y) geeft logistisch.
- Evenwicht: dy/dt=0; controleer of het evenwicht stabiel is.
Uitgewerkt voorbeeld
Maximaliseer W=3x+2y onder x+y≤4, x+2y≤6, x≥0, y≥0. De hoekpunten van het toegelaten gebied zijn (0,0), (4,0), (2,2) en (0,3). Invullen: W=0, 12, 10 en 6. Het maximum is 12 bij (4,0). Controle: (4,0) voldoet aan 4≤4 en 4≤6. De doelfunctie heeft helling −3/2; die is niet evenwijdig aan een rand, dus het maximum ligt in één hoekpunt.
Valkuilen
- Een ongelijkheid verkeerd omdraaien bij vermenigvuldigen met een negatief getal.
- Het toegelaten gebied vergeten te tekenen en een niet-toegelaten snijpunt kiezen.
- Eenheden niet meenemen of extrapoleren buiten het domein van het model.
- Bij logistisch groeien de grenswaarde en de groeisnelheid verwisselen.
- Een model als waar presenteren zonder de aannames te noemen.