Onderzoeksvaardigheden en wiskundige redeneren
Onderzoeksvaardigheden en wiskundige redeneren toetst of je een wiskundige bewering kunt onderbouwen, weerleggen en presenteren. Je moet een onderzoeksvraag afbakenen, data of simulaties gebruiken en onderscheid maken tussen vermoeden, voorbeeld en bewijs.
Kernregels
- Bewijs: gebruik alleen gegevens en eerder bewezen stellingen; onderbouw elke stap.
- Tegenvoorbeeld: één geval waarin de bewering niet geldt, weerlegt een 'voor alle'-bewering.
- Contrapositie: 'als A dan B' is gelijkwaardig met 'als niet B dan niet A'.
- Nodige voorwaarde: B is nodig voor A als A alleen waar kan zijn wanneer B waar is. Voldoende voorwaarde: B garandeert A.
- Bewijs uit het ongerijmde: neem aan dat de bewering onwaar is en leid een tegenspraak af.
- Bij data: let op steekproefgrootte, representativiteit en meetfouten.
Uitgewerkt voorbeeld
Bewering: de som van twee oneven getallen is even. Bewijs: laat a en b oneven zijn. Dan bestaan gehele getallen m en n met a=2m+1 en b=2n+1. Dan a+b=2m+1+2n+1=2(m+n+1). Omdat m+n+1 een geheel getal is, is a+b deelbaar door 2, dus even. Dit bewijs geldt voor alle oneven a en b; één voorbeeld zoals 3+5=8 bewijst de bewering niet.
Valkuilen
- Een paar voorbeelden als bewijs presenteren.
- Een tegenvoorbeeld gebruiken tegen een bewering die alleen 'er bestaat' zegt.
- De conclusie en het gegeven omdraaien.
- Bij een bewijs een bewering als vanzelfsprekend aannemen.
- Bij een onderzoek de onderzoeksvraag en de conclusie niet laten aansluiten.