Cennik kina a utarg
Kino „Wisła” ma 400 miejsc. Przy cenie biletu 30 zł na seans przychodzi średnio 400 widzów, czyli sala wypełnia się całkowicie. Badania pokazują, że każda podwyżka ceny o 2 zł zmniejsza sprzedaż o 20 biletów, a każda obniżka o 2 zł zwiększa sprzedaż o 20 biletów (łącznie nie więcej niż 400). Właściciel waha się przed podniesieniem ceny. Kolega doradza: „Podnieś o 4 zł - zostanie ci 360 widzów, a 4 zł × 360 biletów to dużo więcej niż 30 zł × 400 biletów”. Dyrekcja rozważa też cenę 38 zł i chce znać wszystkie ceny, przy których utarg nie spadnie poniżej 12 000 zł.
1. Zapisz utarg jako funkcję liczby podwyżek o 2 zł i wyznacz cenę dającą największy utarg (bez ograniczenia do wielokrotności 2 zł). Ile wynosi wtedy utarg?
Read the worked answer
Niech x będzie liczbą podwyżek o 2 zł (x może być ujemne dla obniżek). Wtedy:
- cena: 30 + 2x,
- liczba biletów: 400 − 20x,
- utarg: R(x) = (30 + 2x)(400 − 20x) = −40x² + 200x + 12 000.
Wierzchołek paraboli: x = −200 : (2 · (−40)) = 2,5.
Cena: 30 + 2 · 2,5 = 35 zł, biletów 400 − 50 = 350, utarg R = 35 · 350 = 12 250 zł.
Uwaga do rady kolegi: faktyczny wzrost utargu przy cenie 34 zł to 12 240 − 12 000 = 240 zł, a nie 4 zł · 360 = 1440 zł. Kolega pominął utratę 40 biletów po 30 zł (1200 zł).
2. Jeśli cena musi być wielokrotnością 2 zł, jaka cena daje największy utarg? Wyjaśnij, dlaczego optimum z poprzedniej części jest nieosiągalne.
Read the worked answer
Optimum x = 2,5 odpowiada cenie 35 zł, która nie jest wielokrotnością 2 zł (ani liczbą całkowitą złotych w tym cenniku). Sprawdzamy sąsiednie wartości całkowite:
- x = 2: cena 34 zł, 360 biletów, R = 12 240 zł;
- x = 3: cena 36 zł, 340 biletów, R = 12 240 zł.
Obie dają ten sam utarg, o 10 zł mniejszy od maksimum 12 250 zł. Parabola jest symetryczna względem x = 2,5, dlatego najbliższe liczby całkowite dają wynik identyczny. Najlepsza cena to 34 zł lub 36 zł (12 240 zł).
3. Wyznacz wszystkie ceny (dopuszczając x rzeczywiste), przy których utarg wynosi co najmniej 12 000 zł.
Read the worked answer
Warunek: −40x² + 200x + 12 000 ≥ 12 000, czyli
−40x² + 200x ≥ 0 −40x(x − 5) ≥ 0 x(x − 5) ≤ 0 x ∈ [0, 5].
Cena to 30 + 2x, więc dla x ∈ [0, 5] otrzymujemy ceny z przedziału [30 zł, 40 zł].
Sprawdzenie krańców: 30 zł → 400 biletów → 12 000 zł; 40 zł → 300 biletów → 12 000 zł. Wewnątrz przedziału utarg jest większy, a maksimum 12 250 zł wypada przy 35 zł.