Matura Math cheat sheet

|a| = a dla a ≥ 0 oraz |a| = -a dla a < 0; interpretacja: |a-b| to odległość liczb a i b na osi liczbowej.

Dla a > 0: |x| < a ⇔ -a < x < a; |x| > a ⇔ x < -a lub x > a.

a^m·a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{mn}, (ab)^m = a^m b^m, a^{-n} = 1/a^n dla a ≠ 0.

a^{m/n} = ⁿ√(a^m) dla a > 0; √(a²) = |a|; √(ab) = √a·√b dla a,b ≥ 0.

Usuwanie niewymierności: 1/√a = √a/a dla a > 0; 1/(√a+√b) = (√a-√b)/(a-b) dla a ≠ b.

log_a b = c ⇔ a^c = b przy a > 0, a ≠ 1, b > 0; log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a(x/y) = log_a x - log_a y.

log_a x^n = n·log_a x; log_a b = log_c b / log_c a dla c > 0, c ≠ 1.

p% liczby a to (p/100)·a; wzrost o p% to mnożenie przez (1 + p/100), spadek o p% przez (1 - p/100).

(a+b)²=a²+2ab+b²; (a-b)²=a²-2ab+b²; a²-b²=(a-b)(a+b).

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³; a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²); a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).

Faktoryzacja: najpierw wyłącz wspólny czynnik, następnie stosuj grupowanie lub wzory skróconego mnożenia.

Twierdzenie Bézouta: reszta z dzielenia W(x) przez (x-a) równa jest W(a); a jest pierwiastkiem ⇔ W(a)=0.

Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych; po wyłączeniu czynnika (x-a) stopień ilorazu maleje o 1.

Dziedzina wyrażenia: mianownik ≠ 0, a dla pierwiastka stopnia parzystego wyrażenie podpierwiastkowe ≥ 0.

Skracanie: (x²-1)/(x-1)=x+1 dla x≠1; wynik skracania obowiązuje w dziedzinie wyrażenia wyjściowego.

Proporcja a/b=c/d ⇔ ad=bc dla b,d≠0; przekształcenia proporcji zachowują równość iloczynów wyrazów skrajnych i środkowych.

Równanie ax²+bx+c=0, a≠0: Δ=b²-4ac; dla Δ>0 dwa pierwiastki, Δ=0 jeden podwójny, Δ<0 brak rzeczywistych.

Pierwiastki: x₁=(-b-√Δ)/(2a), x₂=(-b+√Δ)/(2a) dla Δ≥0.

Wzory Viète'a: x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a.

Postać kanoniczna: a(x-p)²+q, gdzie p=-b/(2a), q=-Δ/(4a); wierzchołek paraboli to (p,q).

Nierówność kwadratowa: ustal znak współczynnika a i miejsca zerowe; dla a>0 parabola ma ramiona skierowane w górę.

|x-a|=b ⇔ x=a-b lub x=a+b dla b≥0; dla b<0 równanie nie ma rozwiązań.

Równanie wymierne: wyznacz dziedzinę, pomnóż przez mianownik i odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.

Nierówność liniowa: mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną zmienia znak nierówności na przeciwny.

Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca dla a>0, malejąca dla a<0, stała dla a=0.

Funkcja kwadratowa f(x)=ax²+bx+c ma wierzchołek (p,q), gdzie p=-b/(2a), q=-Δ/(4a).

Funkcja parzysta spełnia f(-x)=f(x), nieparzysta f(-x)=-f(x); wykres parzystej jest symetryczny względem osi OY.

Przesunięcie wykresu: y=f(x-a)+b to przesunięcie o a w prawo i b w górę; y=-f(x) to odbicie względem osi OX.

Funkcja wykładnicza f(x)=a^x, a>0, a≠1, ma zbiór wartości (0,∞); rosnąca dla a>1, malejąca dla 0<a<1.

Funkcja logarytmiczna f(x)=log_a x ma dziedzinę x>0 i asymptotę pionową x=0.

Złożenie (f∘g)(x)=f(g(x)): dziedzina uwzględnia dziedzinę g oraz warunek g(x) w dziedzinie f.

Funkcja odwrotna: y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y); wykresy f i f⁻¹ są symetryczne względem prostej y=x.

Ciąg arytmetyczny: a_n=a₁+(n-1)r; S_n=(a₁+a_n)/2·n = n/2·(2a₁+(n-1)r).

Ciąg geometryczny: a_n=a₁q^{n-1}; S_n=a₁(1-q^n)/(1-q) dla q≠1.

Dla |q|<1 suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi S=a₁/(1-q).

W ciągu arytmetycznym a_n=(a_{n-1}+a_{n+1})/2; w geometrycznym a_n²=a_{n-1}·a_{n+1}.

Monotoniczność ciągu arytmetycznego: rosnący dla r>0, malejący dla r<0, stały dla r=0.

Procent składany: K=K₀(1+p/100)^n; kolejne kwoty tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1+p/100.

Indukcja matematyczna: sprawdź tezę dla n=1, załóż ją dla n=k i wykaż dla n=k+1.

sin²α+cos²α=1; tgα=sinα/cosα dla cosα≠0; ctgα=cosα/sinα dla sinα≠0; tgα·ctgα=1.

Wartości: sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tg30°=√3/3; sin45°=cos45°=√2/2; sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tg60°=√3.

Znaki w ćwiartkach: I wszystkie dodatnie, II tylko sinus, III tylko tangens i cotangens, IV tylko cosinus.

Twierdzenie sinusów: a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R, gdzie R to promień okręgu opisanego.

Twierdzenie cosinusów: c²=a²+b²-2ab·cosγ, gdzie γ to kąt między bokami a i b.

Pole trójkąta: P=½ab·sinγ, gdzie γ jest kątem zawartym między bokami a i b.

sin2α=2sinαcosα; cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α-1.

Miara łukowa: π rad = 180°; zamiana stopni na radiany: α·π/180.

Pole trójkąta: P=½ah; P=½ab·sinγ; wzór Herona P=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), p=(a+b+c)/2.

Twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym a²+b²=c², gdzie c to przeciwprostokątna.

Pole równoległoboku P=ah; rombu P=½d₁d₂; trapezu P=½(a+b)h.

Koło: P=πr², obwód 2πr; wycinek o kącie α: P=(α/360°)πr², łuk L=(α/360°)·2πr.

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku; kąt wpisany w półkole ma 90°.

Twierdzenie Talesa: proste równoległe przecinające ramiona kąta dzielą je proporcjonalnie.

Suma kątów wewnętrznych n-kąta wynosi (n-2)·180°; suma kątów zewnętrznych wypukłego n-kąta wynosi 360°.

Podobieństwo figur o skali k: stosunek obwodów wynosi k, stosunek pól k².

Odległość punktów A=(x₁,y₁), B=(x₂,y₂): |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²).

Środek odcinka AB: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).

Prosta: postać kierunkowa y=ax+b, gdzie a=tgα; postać ogólna Ax+By+C=0.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe a₁=a₂; prostopadłe spełniają a₁·a₂=-1.

Odległość punktu (x₀,y₀) od prostej Ax+By+C=0: |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²).

Okrąg o środku (a,b) i promieniu r: (x-a)²+(y-b)²=r².

Wektor AB=[x₂-x₁, y₂-y₁]; jego długość to √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²).

Pole trójkąta o wierzchołkach A,B,C: ½|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|.

Graniastosłup: V=P_p·H, P_c=2P_p+P_b; ostrosłup: V=⅓P_p·H.

Walec: V=πr²H, P_c=2πr(r+H).

Stożek: V=⅓πr²H, P_c=πr(r+l), gdzie l=√(r²+H²).

Kula: V=(4/3)πr³, P=4πr².

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach a,b,c: d=√(a²+b²+c²).

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych: jeśli prosta jest prostopadła do rzutu ukośnej, to jest prostopadła do ukośnej.

Podobieństwo brył o skali k: stosunek pól k², stosunek objętości k³.

Reguła mnożenia: jeśli wybór można wykonać na m sposobów, a kolejny na n sposobów, to łącznie na m·n sposobów.

Permutacje n elementów: n!; wariacje bez powtórzeń: n!/(n-k)!; wariacje z powtórzeniami: n^k.

Kombinacje: C(n,k)=n!/(k!(n-k)!); zachodzi C(n,k)=C(n,n-k).

Prawdopodobieństwo klasyczne: P(A)=|A|/|Ω| dla skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych; 0≤P(A)≤1.

P(A')=1-P(A); P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

Dla zdarzeń niezależnych P(A∩B)=P(A)·P(B).

Średnia arytmetyczna x̄=(x₁+...+x_n)/n; mediana to środkowa wartość uporządkowanego zbioru, dominanta to najczęstsza wartość.

Wariancja σ²=Σ(x_i-x̄)²/n; odchylenie standardowe σ=√σ²; schemat Bernoulliego: P(k sukcesów)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}.