Matura Math flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Wartość bezwzględna liczby

|a| to odległość liczby a od zera na osi liczbowej; |a|=a dla a≥0 oraz |a|=-a dla a<0.

Nierówność z wartością bezwzględną

Dla a>0 warunek |x|<a oznacza -a<x<a, a warunek |x|>a oznacza x<-a lub x>a.

Działanie na potęgach

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: a^m·a^n=a^{m+n}; przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki: (a^m)^n=a^{mn}.

Logarytm definicja

log_a b = c wtedy i tylko wtedy, gdy a^c = b, przy założeniach a>0, a≠1 oraz b>0.

Wzór skróconego mnożenia kwadrat

(a+b)²=a²+2ab+b² oraz (a-b)²=a²-2ab+b²; różnica kwadratów a²-b²=(a-b)(a+b).

Twierdzenie Bézouta

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x-a) jest równa W(a); liczba a jest pierwiastkiem wtedy i tylko wtedy, gdy W(a)=0.

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Wyrażenie wymierne jest określone, gdy mianownik jest różny od zera; przed skracaniem należy wyznaczyć i zapisać dziedzinę.

Wzór na pierwiastki kwadratowe

Dla ax²+bx+c=0 i Δ=b²-4ac≥0 pierwiastki wynoszą x₁=(-b-√Δ)/(2a) oraz x₂=(-b+√Δ)/(2a), gdzie a≠0.

Wzory Viète'a

Dla równania ax²+bx+c=0 o pierwiastkach x₁,x₂ suma x₁+x₂=-b/a, a iloczyn x₁x₂=c/a.

Nierówność liniowa

Przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Wierzchołek paraboli

Dla f(x)=ax²+bx+c wierzchołek ma współrzędne (p,q), gdzie p=-b/(2a), q=-Δ/(4a), Δ=b²-4ac.

Funkcja parzysta i nieparzysta

Funkcja jest parzysta, gdy f(-x)=f(x) dla każdego x z dziedziny; nieparzysta, gdy f(-x)=-f(x).

Funkcja wykładnicza

F(x)=a^x, gdzie a>0 i a≠1; jest rosnąca dla a>1, malejąca dla 0<a<1, a jej zbiór wartości to (0,∞).

Wzór ciągu arytmetycznego

a_n=a₁+(n-1)r; suma n początkowych wyrazów S_n=(a₁+a_n)/2·n = n/2·(2a₁+(n-1)r).

Suma ciągu geometrycznego

S_n=a₁(1-q^n)/(1-q) dla q≠1; dla |q|<1 suma nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi a₁/(1-q).

Zależność w ciągu geometrycznym

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich: a_n²=a_{n-1}·a_{n+1}.

Jedynka trygonometryczna

Dla każdego kąta α zachodzi tożsamość sin²α+cos²α=1; wynika z niej, że tgα=sinα/cosα dla cosα≠0 oraz ctgα=cosα/sinα dla sinα≠0.

Twierdzenie cosinusów

W trójkącie o bokach a,b,c i kącie γ między bokami a i b: c²=a²+b²-2ab·cosγ.

Twierdzenie sinusów

W trójkącie a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.

Wzór Herona

Pole trójkąta o bokach a,b,c wynosi P=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdzie p=(a+b+c)/2 jest połową obwodu.

Pole trapezu

Pole trapezu o podstawach długości a i b oraz wysokości h obliczamy ze wzoru P=½(a+b)·h.

Kąt wpisany w okrąg

Kąt wpisany ma miarę równą połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Odległość punktów na płaszczyźnie

Odległość punktów A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂) na płaszczyźnie wynosi |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²).

Warunek prostopadłości prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych y=a₁x+b₁ i y=a₂x+b₂ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a₁·a₂=-1.

Równanie okręgu

Okrąg o środku w punkcie S=(a,b) i promieniu długości r opisuje równanie (x-a)²+(y-b)²=r², gdzie r>0.

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa wynosi V=⅓·P_p·H, gdzie P_p jest polem podstawy, a H wysokością bryły.

Objętość i pole kuli

Kula o promieniu długości r ma objętość równą V=(4/3)πr³ oraz pole powierzchni równe P=4πr².

Przekątna prostopadłościanu

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a, b i c ma długość d=√(a²+b²+c²), co wynika z dwukrotnego zastosowania twierdzenia Pitagorasa.

Prawdopodobieństwo klasyczne

Dla skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych P(A)=|A|/|Ω|, gdzie |A| to liczba wyników sprzyjających, a |Ω| liczba wszystkich wyników.

Liczba kombinacji

Liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego obliczamy ze wzoru C(n,k)=n!/(k!(n-k)!), gdzie 0≤k≤n i n jest liczbą całkowitą nieujemną.

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń od średniej; odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B); dla zdarzeń wykluczających się P(A∩B)=0.