I85PREP
⌘ K
Matura Math study materials
Matura Math study resources

Matura Math practice questions

One question at a time. Build your Matura Math understanding.

First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

Continue in the practice tool above to load more questions, 50 at a time.

Question 1Liczby rzeczywiste

Która z podanych liczb jest liczbą niewymierną?

  1. 22/7
  2. √16
  3. √7 Correct answer.
  4. 0,(37)

Explanation

Liczba wymierna daje się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych; ułamek dziesiętny okresowy oraz ułamek zwykły są więc wymierne, a √16 = 4 jest liczbą naturalną. Pierwiastek z liczby naturalnej, która nie jest kwadratem liczby naturalnej, jest niewymierny, dlatego √7 jest liczbą niewymierną.

Question 2Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia |3 − 7| · |−2| jest równa

  1. 8 Correct answer.
  2. −4
  3. 4
  4. −8

Explanation

Najpierw obliczamy wartości bezwzględne: |3 − 7| = |−4| = 4 oraz |−2| = 2. Iloczyn tych liczb to 4 · 2 = 8, a wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.

Question 3Liczby rzeczywiste

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek −2 ≤ x < 5 to przedział

  1. (−2, 5)
  2. ⟨−2, 5⟩
  3. (−2, 5⟩
  4. ⟨−2, 5) Correct answer.

Explanation

Nawias ostry oznacza, że koniec przedziału należy do zbioru, a nawias okrągły, że nie należy. Warunek −2 ≤ x < 5 dopuszcza liczbę −2 i wyklucza liczbę 5, więc zapisujemy go jako ⟨−2, 5).

Question 4Liczby rzeczywiste

Iloczyn 2⁵ · 2³ jest równy

  1. 2²
  2. 4⁸
  3. 2¹⁵
  4. 2⁸ Correct answer.

Explanation

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy, a podstawa pozostaje bez zmian. Zatem 2⁵ · 2³ = 2^(5+3) = 2⁸.

Question 5Liczby rzeczywiste

Największy wspólny dzielnik liczb 24 i 36 jest równy

  1. 12 Correct answer.
  2. 432
  3. 6
  4. 72

Explanation

Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze: 24 = 2³ · 3 oraz 36 = 2² · 3². Największy wspólny dzielnik to iloczyn wspólnych czynników w najniższych potęgach, czyli 2² · 3 = 12.

Question 6Liczby rzeczywiste

Liczbę 0,00034 zapisano w notacji wykładniczej. Który zapis jest poprawny?

  1. 3,4 · 10⁴
  2. 34 · 10⁻⁶
  3. 3,4 · 10⁻⁵
  4. 3,4 · 10⁻⁴ Correct answer.

Explanation

Notacja wykładnicza ma postać a · 10^k, gdzie 1 ≤ a < 10 i k jest liczbą całkowitą. Przecinek w liczbie 0,00034 przesuwamy o cztery miejsca w prawo, otrzymując 3,4, więc wykładnik wynosi −4.

Question 7Liczby rzeczywiste

Różnica √50 − √18 jest równa

  1. 4√2
  2. 2√2 Correct answer.
  3. 2
  4. 8√2

Explanation

Wyłączamy największe kwadratowe czynniki przed pierwiastek: √50 = 5√2 oraz √18 = 3√2. Odejmując, otrzymujemy 5√2 − 3√2 = 2√2.

Question 8Liczby rzeczywiste

Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka 6/√3 otrzymamy

  1. √3/2
  2. 3√2
  3. 2√3 Correct answer.
  4. 18

Explanation

Mnożymy licznik i mianownik przez √3: 6/√3 = 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3. Po skróceniu przez 3 otrzymujemy 2√3.

Question 9Liczby rzeczywiste

Dane są przedziały A = (−3, 4⟩ oraz B = ⟨1, 7). Część wspólna A ∩ B to przedział

  1. (−3, 7)
  2. ⟨1, 4⟩ Correct answer.
  3. ⟨1, 4)
  4. (−3, 4⟩

Explanation

Część wspólna zawiera liczby należące jednocześnie do obu przedziałów. Największa dolna granica to 1 (należy do B jako koniec ostry), a najmniejsza górna granica to 4 (należy do A jako koniec ostry), więc A ∩ B = ⟨1, 4⟩.

Question 10Liczby rzeczywiste

Rozwiązaniem równania |x − 2| = 5 są liczby, których suma jest równa

  1. 10
  2. 2
  3. 4 Correct answer.
  4. −4

Explanation

Równanie |x − 2| = 5 oznacza, że odległość liczby x od 2 wynosi 5. Rozwiązaniami są więc x = 2 − 5 = −3 oraz x = 2 + 5 = 7, a ich suma to −3 + 7 = 4.

Question 11Liczby rzeczywiste

Cenę towaru podniesiono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 20%. Ostateczna cena w stosunku do ceny początkowej jest

  1. o 4% niższa Correct answer.
  2. o 4% wyższa
  3. o 40% niższa
  4. taka sama

Explanation

Po podwyżce cena wynosi 1,2c, a po obniżce 0,8 · 1,2c = 0,96c. Ostateczna cena stanowi więc 96% ceny początkowej, czyli jest o 4% niższa.

Question 12Liczby rzeczywiste

Suma log₂ 8 + log₃ (1/9) jest równa

  1. −6
  2. 1 Correct answer.
  3. 5
  4. −1

Explanation

Korzystamy z definicji logarytmu: log₂ 8 = 3, bo 2³ = 8, oraz log₃ (1/9) = −2, bo 3⁻² = 1/9. Suma tych wartości to 3 + (−2) = 1.

Question 13Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia 27^(2/3) jest równa

  1. 3
  2. 18
  3. 6
  4. 9 Correct answer.

Explanation

Potęgę o wykładniku wymiernym m/n liczymy jako pierwiastek n-tego stopnia podniesiony do potęgi m. Zatem 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9.

Question 14Liczby rzeczywiste

Liczba 0,(36) jest równa

  1. 2/5
  2. 9/25
  3. 4/11 Correct answer.
  4. 11/36

Explanation

Ułamek okresowy o dwucyfrowym okresie zapisujemy jako iloraz liczby z okresu przez 99, czyli 0,(36) = 36/99. Skracając przez 9, otrzymujemy 4/11.

Question 15Liczby rzeczywiste

Dane są przedziały A = (−∞, 3⟩ i B = ⟨−1, 7). Różnica A \ B jest równa

  1. (−∞, −1) Correct answer.
  2. (−1, 3⟩
  3. ⟨3, 7)
  4. (−∞, −1⟩

Explanation

Różnica A \ B to liczby należące do A, które nie należą do B. Częścią wspólną obu przedziałów jest ⟨−1, 3⟩, więc po jej usunięciu z A pozostaje zbiór (−∞, −1).

Question 16Liczby rzeczywiste

Liczba 3¹⁰ + 3⁸ jest podzielna przez

  1. 7
  2. 10 Correct answer.
  3. 4
  4. 8

Explanation

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias: 3¹⁰ + 3⁸ = 3⁸(3² + 1) = 3⁸ · 10. Ponieważ jednym z czynników jest 10, liczba ta jest podzielna przez 10.

Question 17Liczby rzeczywiste

Wartość wyrażenia √(4 − 2√3) jest równa

  1. √3 + 1
  2. 2 − √3
  3. √3 − 1 Correct answer.
  4. 1 − √3

Explanation

Zauważamy, że 4 − 2√3 = (√3 − 1)², bo (√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3. Pierwiastek arytmetyczny z kwadratu liczby nieujemnej jest równy tej liczbie, więc wynik to √3 − 1.

Question 18Liczby rzeczywiste

Po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka 2/(√5 − √3) otrzymamy

  1. √2
  2. √5 + √3 Correct answer.
  3. (√5 + √3)/2
  4. √5 − √3

Explanation

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli √5 + √3. Wtedy 2(√5 + √3)/((√5)² − (√3)²) = 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3.

Question 19Liczby rzeczywiste

Zbiorem rozwiązań nierówności |x − 1| ≥ |x + 3| jest

  1. x ≥ 1
  2. x ≤ −1 Correct answer.
  3. x ≥ −1
  4. x ≤ 1

Explanation

Obie strony nierówności są nieujemne, więc można podnieść ją stronami do kwadratu: (x − 1)² ≥ (x + 3)². Po rozwinięciu otrzymujemy x² − 2x + 1 ≥ x² + 6x + 9, czyli −8x ≥ 8, a stąd x ≤ −1.

Question 20Liczby rzeczywiste

Liczba 2¹⁰ · 5¹⁰ zapisana w systemie dziesiętnym ma

  1. 21 cyfr
  2. 20 cyfr
  3. 11 cyfr Correct answer.
  4. 10 cyfr

Explanation

Iloczyn potęg o tym samym wykładniku to potęga iloczynu podstaw: 2¹⁰ · 5¹⁰ = (2 · 5)¹⁰ = 10¹⁰. Liczba 10¹⁰ to jedynka i dziesięć zer, czyli ma 11 cyfr.

Question 21Wyrażenia algebraiczne

Po uproszczeniu wyrażenia 3x - 5 + 2x + 7 otrzymujemy:

  1. 5x - 2
  2. 5x + 2 Correct answer.
  3. x + 2
  4. 5x + 12

Explanation

Redukcja wyrazów podobnych polega na dodaniu współczynników przy tej samej potędze x oraz zsumowaniu wyrazów wolnych. Współczynniki 3 + 2 dają 5, a wyrazy wolne -5 + 7 dają 2, więc wynik to 5x + 2.

Question 22Wyrażenia algebraiczne

Iloczyn 2x^2 · 3x^3 jest równy:

  1. 6x^6
  2. 5x^6
  3. 6x^5 Correct answer.
  4. 5x^5

Explanation

Przy mnożeniu jednomianów mnożymy współczynniki liczbowe, a wykładniki potęg o tej samej podstawie dodajemy. Stąd 2 · 3 = 6 oraz 2 + 3 = 5, czyli 6x^5.

Question 23Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie (x + 3)^2 jest równe:

  1. x^2 + 6x + 3
  2. x^2 + 9
  3. x^2 + 3x + 9
  4. x^2 + 6x + 9 Correct answer.

Explanation

Stosujemy wzór (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Dla a = x i b = 3 otrzymujemy x^2 + 6x + 9.

Question 24Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie 2x(x - 3) jest równe:

  1. 2x^2 - 6
  2. 2x^2 - 6x Correct answer.
  3. 2x^2 - 3
  4. x^2 - 6x

Explanation

Mnożymy każdy składnik nawiasu przez jednomian przed nawiasem: 2x · x = 2x^2 oraz 2x · (-3) = -6x. Po dodaniu otrzymujemy 2x^2 - 6x.

Question 25Wyrażenia algebraiczne

Wartość wyrażenia x^2 - 3x dla x = -2 wynosi:

  1. -10
  2. -2
  3. 10 Correct answer.
  4. 2

Explanation

Podstawiamy x = -2: (-2)^2 = 4 oraz -3 · (-2) = 6. Suma obu składników to 4 + 6 = 10.

Question 26Wyrażenia algebraiczne

Dziedziną wyrażenia 1/(x - 5) jest zbiór:

  1. liczb rzeczywistych różnych od 5 Correct answer.
  2. liczb rzeczywistych różnych od 0
  3. liczb rzeczywistych różnych od -5
  4. liczb rzeczywistych różnych od 5 i od -5

Explanation

Wyrażenie wymierne jest określone wtedy, gdy mianownik jest różny od zera. Mianownik x - 5 zeruje się tylko dla x = 5, więc tę jedną liczbę wykluczamy z dziedziny.

Question 27Wyrażenia algebraiczne

Iloczyn (2x - 3)(x + 4) jest równy:

  1. 2x^2 + 5x - 12 Correct answer.
  2. 2x^2 - 12
  3. 2x^2 + 5x + 12
  4. 2x^2 + 11x - 12

Explanation

Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego: 2x^2 + 8x - 3x - 12. Po redukcji wyrazów podobnych 8x - 3x = 5x otrzymujemy 2x^2 + 5x - 12.

Question 28Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie (3x - 2)^2 jest równe:

  1. 9x^2 - 12x - 4
  2. 9x^2 - 6x + 4
  3. 9x^2 + 4
  4. 9x^2 - 12x + 4 Correct answer.

Explanation

Korzystamy ze wzoru (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 dla a = 3x i b = 2. Otrzymujemy 9x^2 - 12x + 4, przy czym ostatni wyraz jest dodatni, bo (-2)^2 = 4.

Question 29Wyrażenia algebraiczne

Trójmian x^2 - 5x + 6 można zapisać w postaci:

  1. (x - 2)(x + 3)
  2. (x - 2)(x - 3) Correct answer.
  3. (x - 1)(x - 6)
  4. (x + 2)(x + 3)

Explanation

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi 5, a iloczyn 6; są to 2 i 3. Ponieważ współczynnik przy x jest ujemny, oba nawiasy mają znak minus, co daje (x - 2)(x - 3).

Question 30Wyrażenia algebraiczne

Po wyłączeniu największego wspólnego czynnika przed nawias z wyrażenia 6x^3 - 9x^2 otrzymujemy:

  1. 3x^2(2x - 3) Correct answer.
  2. x^2(6x - 9)
  3. 3x^2(2x - 9)
  4. 3x(2x^2 - 3)

Explanation

Największy wspólny czynnik obu wyrazów to 3x^2, bo 6 i 9 dzielą się przez 3, a x^2 występuje w obu składnikach. Po podzieleniu otrzymujemy 3x^2(2x - 3).

Question 31Wyrażenia algebraiczne

Dla x ≠ -3 wyrażenie (x^2 - 9)/(x + 3) jest równe:

  1. x - 9
  2. x - 3 Correct answer.
  3. x + 3
  4. 3 - x

Explanation

Licznik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Po skróceniu czynnika (x + 3), który jest niezerowy, zostaje x - 3.

Question 32Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie (x + 2)^2 - (x - 2)^2 jest równe:

  1. 2x^2 + 8
  2. 0
  3. 8x Correct answer.
  4. 4x

Explanation

Rozwijamy oba kwadraty: (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4). Kwadraty x^2 oraz wyrazy wolne 4 się redukują, a 4x - (-4x) = 8x.

Question 33Wyrażenia algebraiczne

Ze wzoru S = a/(1 - r), gdzie r ≠ 1, wyznaczono r. Poprawny wzór to:

  1. r = (a - S)/S
  2. r = S/(S - a)
  3. r = (S - a)/S Correct answer.
  4. r = 1 + a/S

Explanation

Mnożymy obie strony przez (1 - r) i otrzymujemy S(1 - r) = a, czyli 1 - r = a/S. Stąd r = 1 - a/S = (S - a)/S.

Question 34Wyrażenia algebraiczne

Dla x ≠ 0 wyrażenie (2x^2)^3 : (4x^3) jest równe:

  1. 8x^3
  2. 4x^3
  3. 2x^2
  4. 2x^3 Correct answer.

Explanation

Najpierw potęgujemy: (2x^2)^3 = 8x^6. Następnie dzielimy: 8 : 4 = 2 oraz x^6 : x^3 = x^3, co daje 2x^3.

Question 35Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie x^3 - 8 jest równe:

  1. (x - 2)(x^2 + 2x + 4) Correct answer.
  2. (x - 2)^3
  3. (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
  4. (x - 2)(x^2 - 2x + 4)

Explanation

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) dla a = x i b = 2. Otrzymujemy (x - 2)(x^2 + 2x + 4).

Question 36Wyrażenia algebraiczne

Po usunięciu niewymierności z mianownika wyrażenie 1/(√3 - 1) jest równe:

  1. (√3 - 1)/2
  2. √3 + 1
  3. (√3 + 1)/2 Correct answer.
  4. (√3 - 1)/4

Explanation

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli √3 + 1. W mianowniku otrzymujemy (√3)^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2, a w liczniku √3 + 1.

Question 37Wyrażenia algebraiczne

Dla x ≠ 1 i x ≠ -1 wyrażenie 1/(x - 1) - 2/(x^2 - 1) jest równe:

  1. 2/(x + 1)
  2. (x - 3)/(x^2 - 1)
  3. 1/(x + 1) Correct answer.
  4. 1/(x - 1)

Explanation

Rozkładamy x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) i sprowadzamy do wspólnego mianownika: licznik to (x + 1) - 2 = x - 1. Ułamek (x - 1)/((x - 1)(x + 1)) skraca się do 1/(x + 1).

Question 38Wyrażenia algebraiczne

Jeśli a + b = 5 oraz ab = 3, to a^2 + b^2 jest równe:

  1. 22
  2. 19 Correct answer.
  3. 13
  4. 25

Explanation

Korzystamy z tożsamości a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab. Po podstawieniu otrzymujemy 25 - 2 · 3 = 19.

Question 39Wyrażenia algebraiczne

Rozkładając wyrażenie x^4 - 16 na czynniki możliwie najniższego stopnia, otrzymujemy:

  1. (x^2 - 4)(x^2 + 4)
  2. (x - 2)^2(x + 2)^2
  3. (x - 4)(x + 4)
  4. (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) Correct answer.

Explanation

Najpierw stosujemy różnicę kwadratów: x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4). Czynnik x^2 - 4 rozkłada się dalej na (x - 2)(x + 2), a x^2 + 4 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Question 40Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie (√5 + 2)/(√5 - 2) jest równe:

  1. 1
  2. 9 + 4√5 Correct answer.
  3. 4√5 - 9
  4. 9 - 4√5

Explanation

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie √5 + 2. Mianownik to 5 - 4 = 1, a licznik to (√5 + 2)^2 = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5.

Question 41Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania 3x - 7 = 5x + 1 jest liczba

  1. 2
  2. -3
  3. 4
  4. -4 Correct answer.

Explanation

Wyrazy z niewiadomą przenosimy na jedną stronę, a liczby na drugą: 3x - 5x = 1 + 7, czyli -2x = 8. Po podzieleniu przez -2 otrzymujemy x = -4, co potwierdza sprawdzenie: 3·(-4) - 7 = -19 = 5·(-4) + 1.

Question 42Równania i nierówności

Liczba rozwiązań rzeczywistych równania x^2 + 4x + 5 = 0 to

  1. dwa rozwiązania
  2. brak rozwiązań Correct answer.
  3. nieskończenie wiele rozwiązań
  4. jedno rozwiązanie

Explanation

Wyróżnik wynosi Δ = 4^2 - 4·1·5 = 16 - 20 = -4. Ujemny wyróżnik oznacza, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Question 43Równania i nierówności

Zbiorem rozwiązań nierówności -2x + 3 > 7 jest

  1. x < 2
  2. x > -2
  3. x > 2
  4. x < -2 Correct answer.

Explanation

Po odjęciu 3 od obu stron otrzymujemy -2x > 4. Dzieląc nierówność przez liczbę ujemną -2, zmieniamy jej znak na przeciwny, więc x < -2.

Question 44Równania i nierówności

Suma pierwiastków równania x^2 - 5x + 6 = 0 jest równa

  1. 5 Correct answer.
  2. -6
  3. 6
  4. -5

Explanation

Ze wzorów Viète'a dla równania ax^2 + bx + c = 0 suma pierwiastków jest równa -b/a. Tutaj a = 1 i b = -5, więc suma wynosi 5, a pierwiastkami są istotnie 2 i 3.

Question 45Równania i nierówności

Rozwiązaniami równania |x - 3| = 5 są liczby

  1. x = -8 lub x = 2
  2. x = 2 lub x = 8
  3. x = -2 lub x = 8 Correct answer.
  4. x = -3 lub x = 3

Explanation

Równanie |u| = 5 oznacza, że u = 5 lub u = -5, więc x - 3 = 5 albo x - 3 = -5. Stąd x = 8 lub x = -2, co łatwo sprawdzić podstawiając do wartości bezwzględnej.

Question 46Równania i nierówności

Dziedziną równania √(x - 4) = x - 6 jest zbiór

  1. x ≥ 4 Correct answer.
  2. x ∈ ℝ
  3. x > 4
  4. x ≥ 6

Explanation

Wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być nieujemne, więc x - 4 ≥ 0, czyli x ≥ 4. Prawa strona równania nie ogranicza dziedziny.

Question 47Równania i nierówności

Zbiorem rozwiązań nierówności x^2 - 4 < 0 jest

  1. ⟨-2, 2⟩
  2. (-2, 2) Correct answer.
  3. (-∞, 2)
  4. (-∞, -2) ∪ (2, ∞)

Explanation

Nierówność przekształcamy do postaci x^2 < 4, czyli |x| < 2. Warunek ten opisuje przedział (-2, 2), a końce nie należą do zbioru, bo nierówność jest ostra.

Question 48Równania i nierówności

Równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są liczby 2 i -5, ma postać

  1. x^2 + 3x + 10 = 0
  2. x^2 + 3x - 10 = 0 Correct answer.
  3. x^2 - 3x - 10 = 0
  4. x^2 - 7x - 10 = 0

Explanation

Korzystamy z postaci iloczynowej (x - 2)(x + 5) = 0, która po wymnożeniu daje x^2 + 3x - 10 = 0. Zgadza się to ze wzorami Viète'a: suma pierwiastków -3 = -b/a, a iloczyn -10 = c/a.

Question 49Równania i nierówności

Rozwiązaniem równania (x + 1)/(x - 2) = 3 jest liczba

  1. 3,5 Correct answer.
  2. 7
  3. -3,5
  4. 2

Explanation

Dziedzina wymaga x ≠ 2. Po pomnożeniu obu stron przez x - 2 otrzymujemy x + 1 = 3x - 6, skąd 2x = 7, czyli x = 3,5; liczba ta należy do dziedziny.

Question 50Równania i nierówności

Rozwiązaniem układu równań x + y = 5 oraz 2x - y = 1 jest para

  1. (2, 3) Correct answer.
  2. (-2, 3)
  3. (3, 2)
  4. (2, -3)

Explanation

Dodając równania stronami, otrzymujemy 3x = 6, czyli x = 2. Wtedy z pierwszego równania y = 5 - 2 = 3, więc rozwiązaniem jest para (2, 3), która spełnia oba równania.