Silos na zboże: tynk, pojemność i kąt dachu
Gospodarstwo buduje silos na zboże w kształcie walca o średnicy 6 m i wysokości 8 m, przykryty stożkiem o tej samej podstawie i wysokości 1,5 m. Ze względu na wentylację silos można napełnić zbożem najwyżej do 85% wysokości części walcowej. Dach stożkowy jest z blachy i nie maluje się go, natomiast ścianę boczną walca trzeba otynkować (dna nie liczymy). Wykonawca wycenił tynk na 42 zł za m² i twierdzi, że „spokojnie wystarczy 200 m² i 8000 zł”. Właściciel ma dodatkowy warunek: kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy ma wynosić co najmniej 20°, bo przy mniejszym kącie śnieg nie zsuwa się z dachu. Przyjmij π ≈ 3,14.
1. Oblicz powierzchnię ściany bocznej walca przeznaczonej do otynkowania oraz koszt tynku. Oceń, czy zapewnienie wykonawcy (200 m² i 8000 zł) jest prawdziwe i jaki zostawia zapas.
Read the worked answer
Promień podstawy: r = 6 : 2 = 3 m, wysokość walca h = 8 m.
P = 2πrh = 2 · 3,14 · 3 · 8 = 150,72 m².
Koszt: 150,72 · 42 = 6330,24 zł.
Zapewnienie wykonawcy jest prawdziwe, ale bardzo zgrubne: zapas wynosi 200 − 150,72 = 49,28 m² (ok. 25% powierzchni) oraz 8000 − 6330,24 = 1669,76 zł. Tynkowanie samej ściany kosztuje więc o około 21% mniej, niż twierdzi wykonawca - jego wycena jest bezpieczna, lecz nieprecyzyjna.
2. Ile metrów sześciennych zboża zmieści się w silosie przy napełnieniu do 85% wysokości części walcowej? Wynik podaj z dokładnością do 1 m³.
Read the worked answer
Wysokość zboża: h_z = 0,85 · 8 = 6,8 m.
V = π r² h_z = 3,14 · 3² · 6,8 = 3,14 · 9 · 6,8.
3,14 · 9 = 28,26; 28,26 · 6,8 = 192,168.
Odpowiedź: około 192 m³ zboża.
(Uwaga: stożkowy dach nie mieści zboża - pełni funkcję osłony, więc jego objętości nie doliczamy. Doliczenie stożka zawyżyłoby wynik o 14,13 m³, czyli o ponad 7%.)
3. Sprawdź warunek dotyczący dachu: oblicz kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy (z dokładnością do 1°) i oceń, czy wynosi co najmniej 20°. Przydatne: tg 26° ≈ 0,488, tg 27° ≈ 0,510.
Read the worked answer
W przekroju osiowym stożka mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych r = 3 m (promień podstawy) i H = 1,5 m (wysokość stożka). Kąt α nachylenia tworzącej do podstawy spełnia:
tg α = H : r = 1,5 : 3 = 0,5.
Ponieważ tg 26° ≈ 0,488 < 0,5 < 0,510 ≈ tg 27°, mamy α ≈ 26,6°, czyli po zaokrągleniu 27°.
Warunek 20° jest spełniony z zapasem ok. 6,6° - śnieg będzie się zsuwał. Gdyby ktoś chciał obniżyć dach do wysokości 1,0 m, to tg α = 1/3 ≈ 0,333, czyli α ≈ 18,4° < 20° i warunek przestałby być spełniony.