Braki z dwóch maszyn: prawdopodobieństwo i koszt modernizacji
Zakład produkuje 500 detali dziennie na dwóch maszynach. Maszyna A wykonuje 60% produkcji i daje 2% braków, maszyna B - pozostałe 40% i 5% braków. Każdy wadliwy detal trzeba poddać regeneracji kosztującej 25 zł. Kierownik rozważa modernizację maszyny B za 90 zł dziennie; po niej B dawałaby również 2% braków. Kontroler jakości twierdzi: „Modernizujmy tylko B, bo to ona robi więcej braków - 40% · 5% = 2% całej produkcji, a A tylko 1,2%”. Dyrektor odpowiada, że te liczby nie mówią jeszcze, jaka część braków pochodzi z B, i chce porównać oszczędność z kosztem modernizacji.
1. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany detal jest wadliwy, oraz oczekiwaną liczbę wadliwych detali w ciągu dnia.
Read the worked answer
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:
P(W) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
Oczekiwana liczba braków: 500 · 0,032 = 16 detali dziennie.
Uwaga na pułapkę: nie można uśrednić 2% i 5% do 3,5%, bo maszyny nie produkują po tyle samo. Wynik 3,2% jest bliższy maszynie A, która robi więcej detali.
2. Losowo wybrany detal okazał się wadliwy. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi on z maszyny B, i oceń, czy argument kontrolera jakości jest poprawny.
Read the worked answer
Korzystamy ze wzoru Bayesa:
P(B | W) = (0,4 · 0,05) : 0,032 = 0,020 : 0,032 = 0,625.
Czyli 62,5% wszystkich braków pochodzi z maszyny B, mimo że B wytwarza tylko 40% produkcji (oczekiwane: 10 z 16 braków dziennie).
Argument kontrolera jest częściowo poprawny: dobrze wskazuje, że B generuje większość braków, ale myli dwie różne liczby. Wartości 2% i 1,2% to udziały braków z danej maszyny w całej produkcji, a nie wśród wszystkich braków; te drugie to 62,5% i 37,5%.
3. Czy modernizacja maszyny B za 90 zł dziennie się opłaca? Uzasadnij obliczeniami.
Read the worked answer
Po modernizacji obie maszyny dają 2% braków, więc nowe prawdopodobieństwo braku:
P(W') = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,02 = 0,02.
Oczekiwana liczba braków: 500 · 0,02 = 10 detali dziennie (było 16).
Oszczędność: (16 − 10) · 25 zł = 6 · 25 = 150 zł dziennie. Koszt modernizacji to 90 zł dziennie, więc zysk netto wynosi 150 − 90 = 60 zł dziennie, czyli około 1800 zł miesięcznie.
Modernizacja opłaca się. Warto zauważyć, że próg opłacalności to koszt 150 zł dziennie - przy droższej modernizacji decyzja przestałaby być oczywista.