Równania i nierówności
Równania
Kluczowe typy: liniowe, kwadratowe (Δ = b² − 4ac, x = (−b ± √Δ)/2a, wzory Viète’a x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a), wielomianowe rozwiązywane przez rozkład na czynniki, wymierne (z dziedziną), z wartością bezwzględną (|x| = a ⇔ x = a lub x = −a dla a ≥ 0) oraz układy równań (podstawianie lub przeciwnych współczynników).
Nierówności
Nierówność kwadratowa sprowadza się do szkicu paraboli: miejsca zerowe wyznaczają granice przedziałów, znak współczynnika a mówi, czy ramiona są w górę, czy w dół. Nierówność typu |x − 3| < 2 czytaj jako odległość od 3 mniejszą niż 2, czyli x ∈ (1, 5).
Pułapki
(1) Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną odwraca znak. (2) Nie dziel przez zmienną - gubisz rozwiązanie x = 0; przenoś wszystko na jedną stronę i faktoryzuj. (3) Δ = 0 to jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny), nie brak rozwiązań. (4) W równaniach wymiernych sprawdź, czy wynik nie zeruje mianownika. (5) Przy nierównościach z mianownikiem nie mnóż przez mianownik o nieznanym znaku.
Przykład
Rozwiąż x² − 5x + 6 < 0. Δ = 25 − 24 = 1, pierwiastki 2 i 3, ramiona w górę, więc wartości ujemne leżą między pierwiastkami: x ∈ (2, 3).
Reguła
Każdą nierówność kwadratową rób w trzech krokach: pierwiastki → szkic paraboli → odczyt przedziału.