Ciągi
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Dla ciągu arytmetycznego: a_n = a₁ + (n − 1)r oraz S_n = (a₁ + a_n)/2 · n. Dla geometrycznego: a_n = a₁·q^(n−1) oraz S_n = a₁(1 − q^n)/(1 − q) dla q ≠ 1 (dla q = 1: S_n = n·a₁). Rozpoznasz je po własnościach: w arytmetycznym środkowy wyraz to średnia sąsiadów (2a_n = a_(n−1) + a_(n+1)), w geometrycznym - a_n² = a_(n−1)·a_(n+1). W podstawie programowej pojawia się też procent składany i lokaty: K = K₀(1 + p)^n.
Pułapki
(1) Liczba wyrazów: od a₁ do a_n jest n wyrazów, nie n − 1. (2) Iloraz q może być ujemny (ciąg naprzemienny) lub równy 1 - nie zakładaj, że q > 1. (3) Wzór na S_n przy q = 1 daje dzielenie przez zero - trzeba go stosować osobno. (4) W zadaniach o lokatach sprawdź, czy kapitalizacja jest roczna, czy miesięczna (wtedy p/12 i n = 12·lata). (5) Ciąg geometryczny jest rosnący dla q > 1 przy a₁ > 0, ale malejący dla 0 < q < 1 - sprawdzaj znak pierwszego wyrazu.
Przykład
a₁ = 3, r = 4. Wtedy a₁₀ = 3 + 9·4 = 39, a S₁₀ = (3 + 39)/2 · 10 = 210.
Reguła
Zawsze wypisz a₁, r lub q oraz n - trzy liczby, z których wynika wszystko inne.