Geometria analityczna
Prosta i okrąg
Opanuj: odległość punktów |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), środek odcinka ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), równanie prostej w postaci kierunkowej y = ax + b i ogólnej Ax + By + C = 0, równanie okręgu (x − a)² + (y − b)² = r². Warunki równoległości (a₁ = a₂, czyli A₁B₂ − A₂B₁ = 0) i prostopadłości (a₁·a₂ = −1, czyli A₁A₂ + B₁B₂ = 0).
Typowe zadania
Wyznaczenie prostej przez dwa punkty, prostej prostopadłej przechodzącej przez dany punkt, sprawdzenie, czy punkt leży na okręgu, przecięcie prostej z okręgiem (podstawienie i równanie kwadratowe - liczba rozwiązań to liczba punktów wspólnych), styczne do okręgu, symetralna odcinka jako zbiór punktów równo odległych od końców.
Pułapki
Prosta pionowa x = c nie ma postaci kierunkowej - przy prostopadłości do prostej poziomej y = b szukana prosta jest pionowa i warunek a₁a₂ = −1 nie działa. W równaniu okręgu środek to (a, b) przy znakach minus w nawiasach - (x − 3)² znaczy środek w x = 3. Promień musi być dodatni; równanie w postaci ogólnej trzeba czasem zwinąć w kwadraty, by odczytać środek i promień.
Przykład
Prosta przez (1, 2) i (3, 6): a = (6 − 2)/(3 − 1) = 2, więc y = 2x + b i 2 = 2 + b, czyli b = 0. Prosta prostopadła do niej przez punkt (1, 2): y = −½x + 2,5.
Reguła
Zawsze ustal, czy prosta nie jest pionowa, zanim użyjesz współczynnika kierunkowego.